三角形三条中线交于一点

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1、为什么三角形的三条中线交于一点？（1.相似三角形法）（附图）（原创）已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE证明：如图，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N；过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。∵MN∥BC∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD∴MO/BD=AO/AD，NO/CD=AO/AD∴MO/BD=NO/CD∵AD是△ABC的一条中线∴BD=CD∴MO=NO∵PQ∥AB∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF∴PO/BF=CO/CF，QO/AF=CO/CF∴PO/B

2、F=QO/AF∵CF是△ABC的一条中线∴AF=BF∴PO=QO∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO∴△MOP≌△NOQ(SAS)∴∠MPO=∠NQO∴MP∥AC（内错角相等，两条直线平行）∴△BMR∽△BAE，△BPR∽△BCE∴MR/AE=BR/BE，PR/CE=BR/BE∴MR/AE=PR/CE∵MN∥BC，PQ∥AB∴四边形BMOP是平行四边形∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）∴AE=CE命题得证。下面的是第二种方法：面积法已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE证明：如

3、图，∵点D是BC的中点，点F是AB的中点∴S△CAD=S△BAD，S△COD=S△BOD∴S△CAD-S△COD=S△BAD-S△BOD即S△AOC（绿）=S△AOB（红）∵S△ACF=S△BCF，S△AOF=S△BOF∴S△ACF-S△AOF=S△BCF-S△BOF即S△AOC（绿）=S△BOC（蓝）∴S△AOB（红）=S△BOC（蓝）∵S△AOE:S△AOB（红）=OE:OB，S△COE:S△BOC（蓝）=OE:OB∴S△AOE:S△AOB（红）=S△COE:S△BOC（蓝）∵S△AOB（红）=S△BOC（蓝）∴S△AOE=S△COE∴AE=

4、CE命题得证。下面的是第三种方法：中位线法已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE证明：如图，延长OE到点G，使OG=OB。∵OG=OB∴点O是BG的中点又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线∴AD∥CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）∵点O是BG的中点，点F是AB的中点∴OF是△BGA的一条中位线∴CF∥AG∵AD∥CG，CF∥AG∴四边形AOCG是平行四边形∴AC、OG互相平分∴AE=CE命题得证。