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《三角形三条高相交于一点的一点思考》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道课本习题引发的思考(2012.2.20)李守峰(山东临沂沂州实验学校)新人教版选修2・3在命题证明一章中，有这样一道例题：如图三角形ABC的三条高相较于点，垂足分别为D、E、F求证：ZFDA=ZEDA这是一道普通的题，很可能不会引起人们的重视，因为他太简单，不需老师讲，学生一看就会。但是，如果仅仅停留在一个例题上来看待的话，他的数学功能就是去了99%。下面就以这道题的背景出发，探究他的辐射功能!如图高BE、CF相交于M,求证：AM1BC一、证法思考1.儿何证明易知A、F、M、E,B、C、E、F四
2、点共圆所以：Z1=Z3,Z2=Z3所以Z1=Z2所以ZBDA=ZAEB=直角故AM丄BC2.解析坐标法建立直角坐标系如图易知：AB—+^-=-bc所以过点B且垂直于AC的直线为(1)过点C且垂直于AB的直线为扌兰+丄，⑵cbc由(1)(2)消去y得：axahy=—CCbxab—+y=—CC两式相加得x=0这就说明，BECF的交点在BC边的高线上，故三线共点.3.向量法UUUUUUUlUUIUU假设：CF丄AB,BE丄AC,BE、AC交于MUUUIUUUUUUUUUuuuum则AMBC=(AB+B
3、M)(BA+AC)ULIUUliUUUUliUlUlCllUUUUUUU11=ABBA+BMBA+ABAC+BMACAUUUUliUUllUliUUUUUIU=ABBA^BMBA^ABAC^Ouuuuuuuhuuuuuiu={AB+BM)BA+ABACUllllUUUUUUUUUUUUUUUUUlUllUuuu=AMBA^ABAC=ABAC-AM)=ABCM=0所以AM丄BC二、蕴含结论（设垂心为H）l.A、F、H、E；B,D,H,F；C,E,H,D；A,B,E,D；B,C,E,F；C,A,F,D
4、均四点共圆2.AFAB=AHAD=AEACBF・BA=BHBE=BD・BCCECA=CH・CF=CD・CB3.H为垂足三角形的内心证明：易得：ZFDH=ZFBE=ZFCE=ZHDE所以H在角FDE的平分线上，同理H在角DFE的平分线上，所以H为内心.4.三垂足，三边中点，垂心与三顶点连线的中点,这九点共圆，且半径为外接圆半径的二分之一.证明：如图作四边形OQTS则OQ〃BC,ST//BC所以OQ//BC//ST同理：QS//AH//QT又AH丄所以OST0为矩形，所以OST0共圆，且SQ为直径如图，
5、易知Z1=Z3,Z2=Z4（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）又易知Z3=Z4,所以Z1=Z2所以ZSDQ=ABDH=90°又ZSEQ=90°ZSDQ=ZSTQ=ZSEQ=90°所以S、D、T、E、O共圆.如图利用屮位线定理可知SP〃FC,PQ〃AB,又AB丄CF所以ZSPQ=90°所以P在以SQ为直径的圆上利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得Z1=Z3,Z2=Z4又易知Z3=Z4,所以Z1=Z2所以ZSFQ=90°所以F在以SQ为直径的圆上.如右图利用中位线定理可知SR/7AB,RQ
6、〃FC,又AB丄CF所以ZSRQ=90°A所以R在以SQ为直径的圆上综上所述，九点共圆问题证毕.证法总结：首先找出圆的直径，然后利用三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得其余各点对直径的张角均为直角.下面证明九点圆的直径等于外接圆的半径先证一个结论：三角形顶点到垂心的距离等于外心到其对边距离的两倍.如图，弦心距00=丄CH2证明，作辅助线如图所示则BM=2OD又MB丄丄4B所以同理：MC//BH所以为平行四边形利用上述结论证明半径关系如右图，有上述结论可知0Q平行些等于BH的一
7、半,故有0Q平行且等于BS所以OBSQ为平行四边形所以OB二SQ即外接圆的半径等于九点圆的直径.如右图由上述结论易知OSHQ也为平行四边形，所以OH、SQ相互平分，所以九点圆的圆心01为0H的中点，即九点圆的圆心在欧拉线上，且位于外心与垂心的中点.三、问题延伸1•结论拓展如图1见蕴含结论3证明方法1运用共圆证明略证明方法2运用解析法证明建立坐标系如图所示因为所以AB:cx-by=-be(1)AC:cx+ay==ac(2)CFtbx^cy=ab(3)BE:ax-cy=-ab(4)(1)(3)消去常数项
8、得DE：a(cx-hy)+c(bx^cy)=O即：c(a+b)x+(c2-ab)y=O(2)(4)消去常数项得DF：b(cx+ay)+c(ax-cy)=O即：c(a+b)x-(c2-ab)y=O由此可见DE、DF斜率互为相反数，故有Z1=Z2・2.条件推广设H为高AD所在直线上的一点，直线BH交直线AC于点F,直线CH交直线AB于点E,则ZFDA=ZEDA.证明：如图所设则直线AB:—+^-=1-bc(1)直线CH:-+—=1(2)am直线AC:兰+』=1ac(3)直
