三角形三条中线、高、角平分线相交于一点的证明.doc

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1、证明三条角平分线重合过点O做ΔABC三边的垂线OM、OR、ON∵BN、CM是ΔABC的角平分线∴OM=OR=ON∴点O在∠BAC的角平分线上∴三角形的三条角平分线相交于一点证明三条高线重合求证：P、Q、O三点重合 证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠AEB = ∠AFC = 90° 又∵∠BAE = ∠CAF ∴△ABE ∽ △ACF ∴ 即AB·AF = AC·AE 又∵AD⊥BC ∴△AEQ ∽ △ADC，△AFP ∽ △ADB ∴， 即AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP ∵AB·AF = AC·AE，AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD

2、·AP ∴AD·AQ = AD·AP ∴AQ = AP ∵点Q、P都在线段AD上 ∴点Q、P重合 ∴AD与BE、AD与CF交于同一点 ∵两条不平行的直线只有一个交点 ∴BE与CF也交于此点 ∴点Q、P、O重合。证明三条中线交于一点已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE.证明：如图，延长OE到点G，使OG=OB。∵OG=OB∴点O是BG的中点又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线∴AD‖CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）∵点O是BG的中点，点F是AB的中点∴OF是△BGA的一条中位线∴CF‖AG∵A

3、D‖CG，CF‖AG∴四边形AOCG是平行四边形∴AC、OG互相平分∴AE=CE命题得证。