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时间:2018-10-20
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1、如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点,过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c. 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点,过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c.点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式. (2)当DE=4时,求四边形CAEB的面积. (3)连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?若存在,求此点D坐标;若不存在,说明理由. 【解析】 (1)在直线解析式y=x+4中,令x=0,得y=4;令y=0,得x=﹣4, ∴A(﹣4,
2、0),B(0,4)。 ∵点A(﹣4,0),B(0,4)在抛物线y=﹣x2+bx+c上, ∴,解得:。 ∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣3x+4。 (2)设点C坐标为(m,0)(m<0),则OC=﹣m,AC=4+m。 ∵OA=OB=4,∴∠BAC=45°。∴△ACD为等腰直角三角形。∴CD=AC=4+m。 ∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m。∴点E坐标为(m,8+m)。 ∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上,∴8+m=﹣m2﹣3m+4,解得m=﹣2。 ∴C(﹣2,0),AC=OC=2,CE=6。 ∴S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+
3、(6+4)×2﹣×2×4=12。 (3)设点C坐标为(m,0)(m<0), 则OC=﹣m,CD=AC=4+m,BD=OC=﹣m,则D(m,4+m)。 ∵△ACD为等腰直角三角形,若△DBE和△DAC相似,则△DBE必为等腰直角三角形。 i)若∠BED=90°,则BE=DE, ∵BE=OC=﹣m,∴DE=BE=﹣m。∴CE=4+m﹣m=4。∴E(m,4)。 ∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上, ∴4=﹣m2﹣3m+4,解得m=0(不合题意,舍去)或m=﹣3。∴D(﹣3,1)。 ii)若∠EBD=90°,则BE=BD=﹣m, 在等腰直角三角形EBD中,DE=BD=﹣2m
4、,∴CE=4+m﹣2m=4﹣m。∴E(m,4﹣m)。 ∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上, ∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4,解得m=0(不合题意,舍去)或m=﹣2。 ∴D(﹣2,2)。 综上所述,存在点D,使得△DBE和△DAC相似,点D的坐标为(﹣3,1)或(﹣2,2)。
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