昆明理工大学 线性代数 第3章 习题册答案

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1、线性代数练习册班级姓名学号任课教师习题3.1（向量线性表示及线性相关性）一、已知向量组由向量组线性表示的表示式为，向量组由向量组线性表示的表示式为，求向量组由向量组线性表示的表示式。解：将由线性表示的表示式，代入由线性表示的表示式中：得由线性表示的表示式为，二、判定下列向量组是线性相关还是线性无关?分析：线性无关与线性相关的定义：线性无关线性相关不全为0再介绍一个判别线性相关性的简便方法：均写为行向量，构造矩阵，对A只作行初等变换，若能把A的最后一行化为零行，则线性相关，否则线性无关。12线性代数练习册班级姓名

2、学号任课教师解法一：∵，∴线性无关。解法二：设存在数使得，即根据向量加法、数乘和相等的定义，可得解这个线性方程组，求得它仅有零解x1=0，x2=0，x3=0。因此，线性无关。解法一：∵∴线性相关，且。解法二：设存在数使得，即根据向量加法、数乘和相等的定义，可得解这个线性方程组，求得它的一个非零解x1=3x2=-3x3=3。因此，线性无关，且。12线性代数练习册班级姓名学号任课教师三、已知矩阵与向量，(1)写出矩阵A的列向量组与行向量组；(2)β能否用A的列向量组线性表示？βT能否用A的行向量组线性表示？若能线性

3、表示，则写出表达式。分析：β能否用向量组α1，α2，…，αm线性表示的含义指的是关系式是否成立，也就是能否找到满足上式的x1，x2，…，xm。若将β，α1，α2，…，αm的分量代入上式，得到未知数x1，x2，…，xm的线性方程组。当方程组有解时，β能用α1，α2，…，αm线性表示；当方程组无解时，β不能用α1，α2，…，αm线性表示。再介绍一个判别β能否用向量组α1，α2，…，αm线性表示的简便方法：构造矩阵，对B只作行初等变换（但不作B的最后一行与其它各行的对换），若能把B的最后一行（即β所在的行）化为零行，

4、则β能用α1，α2，…，αm线性表示；若不能把B的最后一行化为零行，则β不能用α1，α2，…，αm线性表示。(1)解：A的列向量组：行向量组：(2)解法一：∵∴β不能用A的行向量组γ1，γ2，γ3线性表示。又∵(∴线性相关，且。)∴β能用A的列向量组线性表示，且。12线性代数练习册班级姓名学号任课教师（或∵∴β能用A的列向量组线性表示，且。）解法二：设存在数使得，即根据向量加法、数乘和相等的定义，可得解这个线性方程组，求得它的一个非零解x1=x2=x3=1。因此，β能用A的列向量组线性表示，且。又设存在数使得，

5、即根据向量加法、数乘和相等的定义，可得这个线性方程组无解。因此，β不能用A的行向量组γ1，γ2，γ3线性表示。四、设线性无关，而线性相关，试证：（1）可由线性表示；（2）不能由线性表示。分析：（书P55）线性相关与线性表示的关系：相线相关中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。（书P56）线性相关和线性无关性质：(1)若,线性无关，则去掉后，剩下的也线性无关。(2)若线性无关，,线性相关，则可由线性表示。证明：（1）∵线性无关，∴，12线性代数练习册班级姓名学号任课教师又∵线性相关，∴可由线性表示。因此，可由线

6、性表示。（2）（反证法）假设能由线性表示，∵（1）中已证明可由线性表示，∴最终可由线性表示，因而线性相关，与假设矛盾。故不能由线性表示。五、若向量组线性相关，但其中任意三个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数，使得.证明：（反证法）假设不存在全不为零的数，使得.∵线性相关，∴存在一组不全为零的数，使得，不妨设∵由假设知，使成立的至少有一个为0，不妨设∴存在一组不全为零的数，使得∴线性相关，与“中任意三个向量都线性无关”矛盾。故必存在一组全不为零的数，使得.六、已知A是n阶可逆矩阵,是n维线性无关的列向量,

7、证明线性无关.分析：线性无关（书P58）可逆矩阵乘以某矩阵，不改变该矩阵的秩。（矩阵的秩的性质（7）书P49）证明：构造矩阵，则∵线性无关，∴∵，A是可逆矩阵。∴，即∴线性无关。12线性代数练习册班级姓名学号任课教师习题3.2（向量组的秩、最大无关组及向量组的等价）一、求下列向量组的秩及一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示：分析：计算向量组的秩及最大无关组的方法：均写为行向量，构造矩阵0对A只作行初等变换，把A化为阶梯形矩阵。阶梯形矩阵中非零行行数，阶梯形矩阵中非零行对应的向量就是的一

8、个最大无关组，阶梯形矩阵中零行给出了用最大无关组表示其余向量的线性组合。解：，A为阶梯形矩阵，∴，最大无关组为解：∴，，最大无关组为二、设向量组的秩为2，求a，b.解：∵，∴阶梯形矩阵有且仅有2个非零行，∴a=2，b=512线性代数练习册班级姓名学号任课教师三、已知向量组的秩为r，证明中任意r个线性无关的向量都是一个最大无关组。分析：最大无关组及秩的定义：的秩为r中有r个向量线性无关，