普及性教材《实用大众线性代数》诞生记

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1、论非数学类线性代数的内容改革——如何用最浅显的理论解决更广泛的问题西安电子科技大学　陈怀琛hchchen1934@vip.163.com摘要：为了弄清线性代数中哪些理论是非数学类（下简称工科）学生必学的，采用了逆向思考的方法，把后续课和工程中遇到的问题加以归纳，找到其最低限度需要的理论。凡是后续课需要的，讲透加强；凡是找不到直接需求的，即予省略；凡是能找到简明证法的，均予采纳。根据工科学生的特点，尽量从具体到抽象，加强形象教学在理论证明中的作用。经过多年尝试，提出一些原则，并写出了教材[2]。一、工科大学为什么要开线性代数课？1960年前后，线性代数进入美国大学数学系

2、本科教学计划[1]，以后修这门课的非数学系学生却成了主流；三十年前中国的工科是没有线性代数课的，80年代起增设这门课。线性代数为什么在近几十年如此风靡呢？不是它在理论上有新突破，而是在应用上的创新。1973年的诺贝尔经济奖发给了Leontiff教授，因为他1949年首创用计算机解了54阶线性方程组；80年代初，线性代数软件包LINPACK开发成功。这样人们不需要精通矩阵求解的数学细节，就可以解决大型复杂的线性代数命题，MATLAB也是用此软件包作为后台支撑的。线性代数不再是少数理论尖子才能学会的秘笈，而成为非数学专业大学生都能掌握的计算工具。现代社会对工科数学提出了更

3、高的要求。钱学森先生在1989年写道：“今后对一个问题求解可以全部让电子计算机去干，不需要人去一点一点算。而直到今天，工科理科大学一二年级的数学课是构筑在人自己去算这一要求上的。…　所以理工科的数学课必须改革，数学课不是为了学生学会自己去求解，而是为了学生学会让电子计算机去求解，学会理解电子计算机给出的答案…”。[4]线性代数是数值计算的基础，不但该率先使用计算机、而且该由它推动其他数学和工程问题的计算机化。线性代数的重要性主要体现在它把愈来愈多的新领域与计算机联系起来，Leontiff获经济奖说明，想用计算机解决问题就得学线性代数。这种“需求牵引”对非数学专业而言，

4、体现在用计算机求解高阶复杂的矩阵模型，不是去手工推证课程内部的微观数学公式。它与原数学系的指导思想相差很大，在实施中师生都提出了改革要求。实践多年后，美国在1990年提出了线性代数作为公共课的五条改革建议：(i)线性代数课程要面向应用，满足非数学专业的需要；(ii)它应该是面向矩阵的（不是面向向量空间）；(iii)它应该适应学生的水平和需要；(iv)它应该利用最新的计算技术；(v)抽象内容应另设后续课程来讲。这五条建议鲜明地指出了非数学系的线性代数与原有课程的重大区别。二、“面向应用，满足非数学专业的需要”如何体现？要做到这一点，必须深入到非数学专业的实践中去，而用计

5、算机解矩阵方程组是问题的核心。作者从十多门后续工程与管理课程中找到了两百多个应用例题，归纳它们的共同需求。大体情况是：（１）最多的是解高阶方程组：阶次为5~15，工程中可高至数千。类型则适定的最多，超定的其次，欠定的极少见；（２）向量相关性：大部分题目涉及空间几何形状和运动，三维为主；高维问题极少，而且通常都看做解方程，用行阶梯变换来解；（３）线性变换：大量的应用问题属于欧几里得空间的坐标变换。把同类问题适当合并后，在本文末的附录中列举了教材[2]中近50个应用实例，给出了它们的阶数及特性。教材改革的理论选材，就是围绕这些题目的需要组织起来的。(1)把高斯消元法解线性

6、方程组作为全书的理论主线，把行列式也纳入这根主线上。尽量去除不必要的繁琐推导，使理论单一化；(2)为了与计算机结合，要使学生建立计算复杂度和计算精度的概念，引入的方法和概念都要把工程和计算可实现性摆在重要位置；(1)根据大一学生的水平，着重建立三维空间概念，不要求N维向量空间；(2)讲透适定和超定方程的MATLAB解法，弱化欠定方程的解，不讲基础解及解空间。(3)特征方程和特征根、二次型都只以二阶为主，但兼顾复数根。.这样组织的内容，与原有的数学系的线性代数就有了很大的不同，特别表现在以下方面。三、行列式的定义和性质的讲法改革我们发现，在所有的应用命题中，除了硬凑的求

7、面积体积的题用到三阶行列式外，没有一个问题真正要算三阶以上行列式的，花了很多学时讲的各种行列式理论和方法竟然没用处。原因何在？这是因为用消元法解方程时，已经用主元都不为零判定了解的存在和唯一，不知不觉中已用了主元连乘定义下行列式；不必另起炉灶，让学生去学其他两种繁琐的高阶行列式定义，也用不到克拉默法则。主元连乘法是高斯消元的自然延伸，不引进新概念新名词，并可很容易地证明行列式的各种有用的性质，也是软件编程的依据。对于工程人才，数学定义和方法的可实现性是必须关注的问题。数值计算中通常用所需的乘法次数来标志计算的复杂度，下表给出了行列式三种定义方法在不同