2016届中考数学（通用版）复习专题学案：数学思想方法

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1、数学思想方法【题型特征】数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识;数学方法是解决数学问题的策略和程序,是数学思想的具体反映.对于学习者来说,运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程,当这种积累达到一定程度就会产生飞跃,从而上升为数学思想,一旦数学思想形成之后,便对数学方法起着指导作用.因此,人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法.在初中数学中常见如下四大数学思想方法:(1)转化化归的思想方法;(2)数形结合的思想方法;(3)方程与函数的思想方法;(4)分类讨论的思想方法.【解题策略】(1)转化化归的思

2、想方法:将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题,将抽象的问题转化为具体的直观的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将一般性的问题转化为直观的特殊的问题;将实际问题转化为数学问题,使问题便于解决.如解分式方程时,我们将其转化为整式方程来解、一元二次方程我们将其转化为一元一次方程来解、四边形我们将其转化为三角形来研究、立体图形将其转化为平面图形来研究等.(2)数形结合的思想方法:数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时,将图形信息转换成代数的信息,利用数量特征,将其转化为代数问题.在解决与数量有关的问题时,根据数量的结构

3、特征,构造出相应的几何图形,即化为几何问题.(3)方程与函数的思想方法:用运动、变化的观点,分析研究具体问题中的数量关系,通过将问题转化为函数和方程模型来解决就体现了方程与函数的思想方法.具体地,函数思想,是指用函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的.(4)分类讨论的思想方法

4、:当求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性时,就要进行分类讨论.比如前面等腰三角形、直角三角形的有关计算问题、圆的有关问题(垂径定理计算问题、弦所对的圆周角的大小问题、位置关系问题等)中,往往因为已知的不确定性,需要分类讨论.这些同学们应引起重视,否则可能会出现漏解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　转化化归的思想方法典例1　(2015·四川凉山州)先化简,再求值:【技法梳理】解题过程体现了部分向整体的转化.就是考虑问题时不是着眼于它的局部特征,而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上,通过对其全面深刻的观察,从宏观上

5、、整体上认识问题的实质,把一些彼此独立,但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理.举一反三1.(2015·湖北荆门)如图,已知圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为(　　).　(第1题)A.4dmB.2dmC.2dmD.4dm【小结】转化就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种方法将问题通过变换使之转化,进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.所谓“化归”就是将

6、要解决的问题转化归结为另一个较易问题或已经解决的问题.类型二　数形结合的思想方法典例2　(2015·河北)如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n≠(　　).　A.2B.3C.4D.5【解析】如图所示:将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n可以为3,4,5,故n≠2.【全解】A.【技法梳理】利用矩形的性质以及正方形的性质,结合勾股定理得出分割方法即可.举一反三3.(2015·宁夏)实数a,b在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是(　　).(第3题)A.a+b=0B

7、.b0D.

8、b

9、<

10、a

11、【小结】利用数形结合的思想求解更形象直观.数形结合的思想方法是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略.本题通过图形语言,发现问题结论,实现数与形的完美结合.类型三　方程与函数的思想方法典例3　(2015·安徽)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是(　　).　【全解】①点P在AB上时,点D到AP的距离为AD的长度,②点P在BC上时,根据同角的余角相

12、等求出∠APB=∠PAD,再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的表达式,从而得解.具体过程如下:①点P在AB上时,0≤x≤3,点D到AP的距离为AD的长度,是定值4.②点P在BC上时,3