通过球壳导热

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1、通过球壳的导热杨煜1102610105市政环境工程学院建筑环境与设备工程摘要：在傅里叶定律的基础上，我们已经得到了通过圆筒壁导热的温度分布，导热热阻及热流量。在此，我们将用相同的方法，得到通过球壳导热的温度分布，导热热阻及热流量，同时根据临界绝缘直径的大小对保温材料的选择进行讨论。关键词：导热热阻、温度场、傅里叶定律、临界绝缘直径。1.引言在工程实践中，除了会遇到圆筒壁导热问题，还经常会遇到球壳类的导热问题。在进行了圆筒壁导热的推导后，可采用类似的数学方法对球壳的导热过程进行推导，即运用简单的微积分方法求解温度分布函数。

2、进而求出各种求解球壳问题需要了解的参数量。此过程的进行不仅可以加深对稳态导热的理解，同时还能学会熟练地用数学方法，尤其是微积分处理导热的问题。以及如何运用公式分析求解球壳导热问题。2.第一类边界条件如图表示一内半径为，外半径为的球壳，无内热源，球壳的导热系数为常数。球壳内外表面分别维持均匀稳定的温度和，而且＞。要求确定通过该球壳的导热量及壳内的温度分布。球壳内、外壁面温度均匀，温度场是均匀对称的，沿轴向的温度变化可以忽略不计，所以采用球坐标系更为方便，而壳内温度仅沿坐标r方向变化，即一维稳态温度场。于是，表述上述问题的导

3、热微分方程可简化为下列形式（1）球壳内、外表面都给出第一类边界条件，即已知（2）（3）式（1）（2）（3）给出了这一导热问题的完整描述。求解这一组方程组，就可以得到球壳内沿半径方向的温度分布具体函数形式。式（1）可以通过直接积分方法求解。积分一次，得到（4）再积分一次，得到式（1）的通解为（5）上式中，是待定的积分常数，可有边界条件确定。将式（2）（3）代入式（2），可以得到（6）（7）联立求解式（6）（7），得到（8）（9）将，的值代入式（5）中，经过整理，可以得到球壳中的温度分布或采用直径写作（10）已知温度分布后，

4、可以根据傅里叶定律，求得通过球壳的导热热流量。值得注意，与通过无限大平壁导热过程不同，对于球壳，并不等于常数，而是半径r的函数，参看式（4）。所以，不同半径r处的热流密度并不是常数。但在稳态情况下，通过半径为r的球壳的导热热流量是恒定的，根据傅里叶定律，它可以表示为（W）（11）从式（4）（8）可知（12）将上式代入（11）中，得或写作（13）将式（13）改写为欧姆定律的形式，可得（14）式中，就是球壳的导热热阻，单位是。1.第三类边界条件已知球壳一侧的流体温度为，对流换热表面传热系数为；对流换热一侧流体的温度为，表面传

5、热系数为。则球壳两侧的第三类边界条件为（16）（17）应用傅里叶定律表达式，改写式（12）（16）（17）并按传热过程的顺序排列它们，则得（18）（19）（20）在稳态传热过程中，==，联立式（18）（19）（20），可得（21）则球壳传热过程中的热阻为（22）则多层球壳热阻为（23）4.临界热绝缘直径由式（23）可知热流体通过球壳和保温层传热给冷流体传热过程热阻为（24）当加厚保温层时，增大，保温层热阻随之增大，而保温层外侧的对流换热热阻随之减小，有数学知识可知先减小后增加，具有一个极小值。对应于这一变化，传热量随着增

6、大，先增大后减小具有一个极大值。对应于总热阻为极小值的保温层外径称为临界热绝缘直径，即得5.结论参考文献：【1】章熙民，任泽霈，梅飞鸣.传热学（第五版）.中国建筑工业出版社，2007年【2】张宗达.工科数学分析（第三版）下册.高等教育出版社，2008年