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《选修2-1数学 椭圆综合 知识点+大量例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、椭圆的性质▓椭圆的范围椭圆上的点都位于直线x=±a和y=±b围成的矩形内，所以坐标满足
2、x
3、≤a，
4、y
5、≤b.▓椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。▓椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：（1），，；（2），，；（3）,
6、，；▓椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。▓椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。▓平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x,y），
7、若点M（x,y）在椭圆上，则有；若点M（x,y）在椭圆内，则有；若点M（x,y）在椭圆外，则有.▓直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点两点，则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：;▓例1.已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程。【解析】椭圆的长轴长为6，，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以
8、OF
9、=c，，，所以c=2，b2=32－22=5，故椭圆的方程为或。▓【变式3】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦
10、点在x轴上，离心率为．过点的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为______【答案】。▓例2.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率；（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。【解析】（1）由题意得，即，解得。（2）由题意得，解得，故离心率。▓【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）【答案】D▓【变式2】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿【答案】▓例3.设M为椭圆上
11、一点，F1、F2为椭圆的焦点，若∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率。【解析】在△MF1F2中，由正弦定理得即∴，∴。▓【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。【答案】▓【变式2】已知椭圆的左焦点为F，右顶点A，上顶点为B，若BF⊥BA，求离心率____。【解析】根据题意，
12、AB2
13、=a2+b2，
14、BF
15、=a，
16、AF
17、=a+c，所以在Rt△ABF中，有(a+c)2=a2+b2+a2，化简得c
18、2+ac―a2=0，等式两边同除以a2，得e2+e―1=0，解得。又∵0＜e＜1，∴。▓例4．已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围。【解析】△F1PF2中，已知，
19、F1F2
20、=2c，
21、PF1
22、+
23、PF2
24、=2a，由余弦定理：4c2=
25、PF1
26、2+
27、PF2
28、2-2
29、PF1
30、
31、PF2
32、cos120°①又
33、PF1
34、+
35、PF2
36、=2a②联立①②得4c2=4a2-
37、PF1
38、
39、PF2
40、，∴▓【变式】已知椭圆，以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。【答案】由已知，
41、，所以，即，不等式两边同除可得，解不等式得或.由椭圆的离心率，所以所求椭圆离心率.▓例6.已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．【解析】解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得．由韦达定理得．∵是弦中点，∴．故得．所以所求直线方程为．解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得①－②得．将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．所求直线方程为．▓【变式1】已知点P（4，2）是直线被椭圆所截得线段的中点，求直线的方程.【答案】直线的方程为x+2y－8=0▓【变式2】若直线与椭圆恒有公共点
42、，求实数的取值范围。【答案】时，直线与椭圆恒有公共点▓椭圆（2013高考题）▓▓（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ5）设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（）A.B.C.D.【解析】选D.因为,所以。又，所以，即椭圆的离心率为，选D.▓(2013·大纲版全国卷高考理科·T8)椭圆C:的左、右顶点分别为,,点P在C上且直线斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是 ( )A.B.C.D.【解析】选B.设，则，
