高中数学选修2-1椭圆的几何性质 例题解析

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1、椭圆的几何性质例题解析【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率为，准线方程为；(2)长轴与短轴之和为２０，焦距为【分析】要求椭圆的标准方程，首先判断椭圆的焦点所在的轴，然后求标准方程中待定的a和b的值．【解】（１）由准线方程为，可知椭圆的焦点在x轴上．设所求椭圆的方程为，由题意，得　　解得，．所以．因此，所求椭圆的方程为．（２）当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为由题意，得　即　　　　　　解得，．所以焦点在x轴上的椭圆的方程为，同理可求当焦点在y轴上椭圆的方程为．因此，所求的椭圆的方程为和．【点评】求椭圆的标准方程，常用方

2、法是待定系数法一般步骤是：(1)根据焦点所在的位置设椭圆的标准方程；(2)由已知条件求出待定的系数a、b；(3)将求得的系数a、b代入所设方程，即得所求椭圆的标准方程【例2】设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点使组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为.【分析】本试题综合了解析几何与代数中的重要內容：椭圆的几何性质、焦半径的有关內容，等差数列的通项与公差等问题，考查考生对基础知识的掌握应用能力，考查考生分析问题解决问题的能力．利用椭圆的性质求出焦半径的取值范围，利用通项公式求出公差的取值范围．这里应注意数列可以是递增的也可

3、以是递减的．【解】易知椭圆的焦点到椭圆上的点的最大与最小距离分别为a＋c与a－c，即与于是由等差数列的通项公式得＋(n－1)解得因n－1≥20，故,注意到d≠0，故d的取值范围为．【点评】解答本题的主要错误为：基础知识掌握不牢，不会求焦半径的最大与最小值；审题不仔细：未注意点是不同的点这个条件，从而误认为公差d可以为0；考虑欠周，误认为数列是递增的或是递减的，从而漏掉了一部分的解，出现了形如d的取值范围为的错误．【例3】已知以C为圆心，半径为R(R＞6)的一个圆，点A是圆C内的一个定点，且｜AC｜＝6，试求过点A且与⊙C内切的动圆圆心

4、的轨迹方程．若定圆圆心C到轨迹上的点的距离的最大值为8，求⊙C的半径R．【解析】【点评】【例4】若椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞o)与直线x＋y＝l交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM的斜率为2，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求椭圆的方程．【解析】【点评】对直线和椭圆的位置关系与方程组的转换、两交点存在与判别式△＞0及韦达定理的转换、OA⊥OB转换.【例5】已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2，－6），P为椭圆上的一个动点，试分别求：（1）

5、PM

6、＋

7、PF2

8、的最小值；（2）

9、PM

10、＋

11、PF2

12、的取

13、值范围．【分析】待求式

14、PM

15、＋

16、PF2中含有的常数，使我们联想到椭圆离心率恰好为e=，而=

17、PF2

18、，它表示P到准线的距离，故第（1）小题可使用椭圆的第二定义求解．对于第（2）小题，可注意到椭圆的定义：椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值，进而可将和式“

19、PM

20、＋

21、PF2

22、”转化为差式“

23、PM

24、－

25、PF1

26、＋20”进行求解xNlOyMPF1F2【解】（1）椭圆右准线l：x=，过点P作PN⊥l于点N，如图所示则由椭圆的第二定义知=e=，于是，

27、PN

28、=

29、PF2

30、所以，

31、PM

32、＋

33、PF2

34、=

35、PM

36、＋

37、PN

38、≥d(M，l)，其中d(M，l

39、)表示点M到准线l的距离易求得d(M，l)=所以，

40、PM

41、＋

42、PF2

43、的最小值为（此时点P为过点M且垂直于l的线段与椭圆的交点）（2）由椭圆的定义知

44、PF2

45、＋

46、PF1

47、=2a=20，故

48、PM

49、＋

50、PF2

51、=

52、PM

53、－

54、PF1

55、＋201˚

56、PM

57、－

58、PF1

59、≤

60、MF1

61、=10，故

62、PM

63、＋

64、PF2

65、≤30（当且仅当P为有向线段的延长线与椭圆的交点时取“=”）；2˚

66、PF1

67、－

68、PM

69、≤

70、MF1

71、=10，故

72、PM

73、＋

74、PF2

75、=20－（

76、PF1

77、－

78、PM

79、）≥10（当且仅当P为有向线段的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）综上可知，

80、PM

81、

82、＋

83、PF2

84、的取值范围为[10，30]【点评】椭圆有两个定义，各有其用途．如题中（１）用第二定义，（２）用第一定义进行在转化，利用数形结合求解，化繁为简．