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1、目录一、内容摘要...............................................................................2二、求矩阵特征向量的一个新方法............................................2三、推广......................................................................................43.1根据定义求解特征值特征向量.....................................
2、.43.2格什戈林圆盘定理.............................................................53.3幂法.....................................................................................73.4反幂法.................................................................................83.5列行互逆变换法............................
3、...................................93.6列初等变换法....................................................................11四、算法及流程图.......................................................................12五、程序.......................................................................................14六、特
4、征值与特征根应用...........................................................16七、参考文献...............................................................................1616一、内容摘要本文主要是针对特征值特征向量的解法的总结与创新。首先,给出(1)一种矩阵乘法求求矩阵特征向量的一个新方法,详细证明。然后又总结出以下算法:(2)根据定义求解特征值与特征向量,并举例(3)圆盘定理,估计特征值特点及范围,并举例、图示(4)幂法求解特征值特征向
5、量,并举例、算法、程序(5)反幂法求解特征值特征向量最后提出两种新算法(6)列行互逆变换法(7)列初等变换法关键字:特征值特征向量列行互逆变换法列初等变换法二、求矩阵特征向量的一个新方法2.2引理[1](表示n阶复方阵集合),则可对角化的充要条件是对的每一个特征值。其中为的重数。2.3引理[2]设若可对角化,则的最小多项式为16其中的所有互不相同的特征值。2.4定理设为的所有互不相同的特征值.若可对角化,则的列向量为矩阵对应于特征值的特征向量,且列向量组的极大无关组是特征向量空间的一个基。[1]证明:因可对角化,由引理2知,的最小多项式为,即。这表明的列向量为方程组的解向量。由
6、引理1知。因此齐次线性方程组的解空间维数为。由此有。另一方面,由Sylvester不等式,可得下面一些详细证明步骤:假设则且则。。这表明矩阵的列向量组的极大无关组所含向量个数为。因而极大线性无关组就是对应于特征值的特征向量空间的一个基。16例1求矩阵的特征向量。解:解矩阵的特征方程的特征值为。由于为是对称矩阵,一定可对角化。因此的最小特征多项式为,因而有和则和对应的特征向量分别为和三、推广3.1根据定义求解特征值特征向量例2:求的特征值与特征向量。解:所以特征值为-1和5,再将-1和5分别代入方程组中得到方程:16和,并求得其基础解系分别为:和,则得出所对应的特征向量。3.2格
7、什戈林圆盘定理[2]3.2.1设,则的每一个特征值必属于下述圆盘之中或者说的特征值都在复平面上的个圆盘的并集中。3.2.2如果的个圆盘组成一个连通的并集与余下的个圆盘是分离的,则内恰包含的个特征值。特别的,如果得一个圆盘是与其他圆盘分离的,则中精确包含的一个特征值。实轴虚轴大致内容可由上图表示:可以在两圆相交部分有一对对称的共轭复根,也可以在实轴的有一个实根。16例3估计矩阵的特征值范围。解:的3个圆盘为根据圆盘定理,可知有3个特征值位于3个圆盘的并集中,由于是孤立圆盘,所以内恰好有的一个特
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