可凸化函数性质

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1、可凸化函数性质的研究──表征导数为零的点摘要：本文研究了光滑函数的几个变量与Lipschitz导数。它表明，这些函数有“包络性”的功能：一个圆导数为零的点，只有在这样的点，函数是一个二次抛物面的包络。证明包络性质，是说每个光滑函数具有Lipschitz导数，当考虑一个紧凸集时，其区别在于凸函数与凸二次函数。在此表明，具有类似结果的是凹函数。还有关于函数导数为零点性态的研究。最优性条件局部极值，是在基于包络特性的条件下给出的。该性质将用于在更多限制条件但不求导的假设下，在把费马定理与拉格朗日定理相比较并用

2、新的形式写出费尔马极值定理和拉格朗日定理。关键词：导数为零的点；fermats极值定理；拉格朗日定理；凸二次函数；凸函数。Abstract：WestudysmoothfunctionsinseveralvariableswithaLipschitzderivative.Itisshownthatthesefunctionshavethe“envelopeproperty”:Aroundzero-derivativepoints,andonlyaroundsuchpoints,thefunctionsar

3、eenvelopesofaquadraticparabolloid.Theproofoftheenvelopeproperty,whichsaysthateverysmoothfunctionwithaLipschitzderivative,whenconsideredonacompactconvexset,isthedifferenceofaconvexfunctionandaconvexquadraticfunction.ItisshownthatanThepropertyisusedtorefor

4、mulateFermat’sextremevaluetheoremandthetheoremofLagrangeunderslightlymorerestrictiveassumptionsbutwithoutthederivatives.Keywords：Zero-derivativepoint;Fermat’sextremevaluetheorem;TheoremofLagrange;convexquadraticfunction;convexfunction.1引言具有导数为零性质的点在数学的许多

5、领域都很重要特别是，一个典型的结果在单变量微积分中当达到局部极值时的可微函数只有在零导数的点可以实现。例如,这一结果[4]通常称为费尔马极值定理，及它延伸到多元函数和超元函数，例如在文献[3]中。本文围绕导数为零的点，只有在这些点，光滑函数与Lipschitz导数具有二次抛物面包络的性质。在理论上，一个可以使用这个“包络”来确定在没有计算导数和检查它的根下是否导数是零。性质也表明计算光滑点导数为零的收敛方法，一般非凸，具有Lipschitz导数性质的函数有二次弱收敛性。证明包络性质使用的结果来自文献[5

6、]，是说每个光滑函数具有Lipschitz导数，当考虑一个紧凸集时，其区别在于凸函数与凸二次函数。在第二段表明，具有类似结果的是凹函数。关于函数导数为零点性态的研究在第三段。最优性条件局部极值，是基于包络特性，在第四段给出。在那里把费马定理与拉格朗日定理相比较。在在第五段提出全局优化下可能修改的α基带算法[1]，并使用第二段的凸函数。2光滑函数的研究我们使用的术语和符号来自文献[5]。考虑一个光滑的多变量函数f:R→R，例如：不断连续或Fréchet可微。假设关于存在导数，且代表的行梯度，则对在紧凸集具

7、有Lipschitz性质。这意味着存在一个常数，称为导函数Lipschitz常数，即：在这里表示的转置和向量范数选择的是Euclidean。请注意，这里的取决于K。定义1：考虑一个连续函数：在紧凸集的开放领域。如果存在一个数，满足：其中函数是上的凸函数，而函数是上的凸二次函数。则我们称函数是可凸化的，是凸化因子，且是在上的可凸化函数。如果存在一个数，满足：其中函数是上的凹函数，而函数是上的凹二次函数。则我们称函数是可凹化的，是凹化因子，且是在上的可凹化函数。一个连续函数要么可以凸化要么可以凹化。例1：一

8、个标量函数是可以凹化的（作为一个凹函数），但它不可以在区间上凸化。光滑函数的导数既可能具有又可能不具有的Lipschitz性质。如果函数光滑并且可导，则它具有Lipschitz性质且函数既可以凸化又可以凹化定理1：（分解具有Lipschitz导数的光滑函数）考虑一个光滑函数：在紧凸集的开放领域。如果函数可导且在上具有Lipschitz性质，则函数在上既可以凸化又可以凹化。假设是函数在上的Lipschitz常量，则是一个凸化因子，是一个凹化因