中学数学解题经典研究

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1、中学数学解题研究第一章波利亚的解题观点波利亚及其解题理论波利亚(1887.12.13-1985.9.7)作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与猜想》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的。著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．数学解题教学没有一

2、道题可以解决得十全十美，总存在值得我们探究的地方。——[美]G.波利亚朱华伟单墫戴再平数学解题策略北京：科学出版社,2009.8.解题研究[M].南京：南京师范大学出版社，2002.6数学习题理论[M].上海：上海教育出版社，1991.3；1996.10.我国数学解题研究的代表人物和代表作罗增儒中学数学解题的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2008年.9；前言数学解题学引论[M]西安.陕西师范大学出版社，1997.6观点是指观察事物所处的位置或采取的态度。解题教学中的解题观点是指对“怎样解题”、“为什么这样解

3、题”的整体认识和基本态度。《怎样解题》乔治·波利亚《数学与猜想》《数学的发现》在《数学的发现》中，波利亚共给出了四个具体的解题模式（双轨迹、笛卡儿、递归、叠加）。下面我们借助于一些典型的例子，对这些解题模式进行论述。1.1双轨迹模式给定一个三角形的三边，求作这个三角形。第一节四种具体的解题模式求作三角形外接圆的圆心。这里同样要对未知成分所应满足的条件进行分割。未知量是(x,y)，已知量是……“部分条件”是……鸡兔同笼问题：一个农夫有若干鸡和兔子，它们共有50个头140只脚，问鸡和兔子各有多少只？求解这个二元一次方程组

4、……这里，我们碰到的是一个“多元的”未知量。1.2笛卡儿模式Descartes：我这儿有好东东呵……第一，把任何问题化为数学问题。第二，把数学问题化为代数问题。第三，把代数问题化为方程式来求解。第二，把数学问题化为代数问题。第三，把代数问题化为方程式来求解。奇思妙想的解法……代数的解法：鸡兔同笼问题：一个农夫有若干鸡和兔子，它们共有50个头140只脚，问鸡和兔子各有多少只？由代数方法可轻松地得到上述“奇思妙想”：已知有一正根，一负根，求a的范围七位数是99倍数，试确定x,y值。Descartes的思想对我们有什么指导

5、意义？数学化、代数化、计算化！波利亚对其所说的“笛卡儿模式”作了如下概括：首先，要在很好地理解了问题的基础上，把问题归结为去确定若干个未知的量。用最自然的方式通盘考虑一下问题，设想它已经解出来了。然后，根据条件，把已知量和未知量之间所必须成立的一切关系式都列出来。析出一部分条件，使得你能用两种不同的方式去表示同一个量，这样可以得出一个联系未知量的方程。如此下去，就把条件分成了若干部分，从而得出与未知量个数相等的一组独立方程式。1.3递归模式所谓递归，是指运用收集到的知识作为行动的基础去获得更多的知识。由于这里所涉及到

6、的往往是多个，甚至是无穷多个未知量，因此，所谓的递归，事实上也就是指知识的“不断扩张”：在解题的每一阶段，我们都把关于一个新的分量的知识添加到已经得到的知识上去，在每一阶段，我们又都要用已经得到的知识去得出更多的知识。我们要靠逐省逐省的占领去最后征服一个王国在每个阶段，我们利用已被征服了的省份作为行动基地去征服下一个省份。关于前n个自然数的k次幂之和的计算是应用递归模式解决问题的典型例子。如此下去，我们可以对任意的k，依次求出前n个自然数的k次幂之和。数学归纳法也可看成递归模式的直接应用：在此，我们同样是利用“已被征

7、服了的省份”（特例，数学归纳法的基础），作为行动的基地去征服下一个“省份”，直至最终征服了“整个王国”，即获得了普遍的公式或结论。1.4叠加模式圆周角与圆心角关系定理的证明。波利亚指出，借助于上面的例子，我们又可以引出一个十分重要的模式：叠加模式。具体地说，所谓叠加模式就是指“从一个导引特款出发，利用特殊情形的叠加去得出一般问题的解。”这就是说，叠加模式的应用通常包括以下两个步骤：第一，为了求得一般情形的解，首先处理一个特殊情形。这一特殊情形应当满足以下条件：它不仅易于解决，而且还特别有用，即可把我们引导到一般情形的

8、解。因此，我们称它为“导引特款”。第二，用某种指定的代数运算（这就是所谓的“叠加”）把一些特殊情形组合起来，从而获得一般情形的解。波利亚通过对各种典型问题的细致剖析，提炼出四个常用的解题模式——可供仿照的楷模．Ⅰ．双轨迹模式（1）把问题归结为要确定一个“点”．（2）把条件分成两部分，使得对每一部分，未知点都形成一个“轨迹”．这两个“轨迹”的交集