轨迹问题、直线及圆锥曲线位置关系

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1、林老师教案轨迹问题一、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。例1已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。解：设MN切圆C于N，则。设,则化简得（1）当时，方程为，表示一条直线。（2）当时，方程化为表示一个圆。说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。练习：（待定系数法题型）在中

2、，，且的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点，且过点P的椭圆方程。二、定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例2如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运才能最省工？解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP到P较近，二是沿BP到P较近，三是沿AP或BP一样近。其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M为分界线上的任一点，则有，即，故M在以A，B为焦点的双曲线的右支上。建立

3、如图直角坐标系，得边界的方程为,故运土时为了省工，在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处，在曲线上面的土两边都可运。说明：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。练习：已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。解：由中垂线知，故14林老师教案，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为三、代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,

4、y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。例3如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。解：设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）则N（2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0②由①②解方程组得,代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线y=-

5、x，关于直线y=3对称的曲线方程。(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0)四、参数法与点差法题型：参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。例4经过抛物线y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。解：A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标

6、为，由于AC与AB垂直，则AC的方程为，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为，又M为BC中点，设M（x,y）,则，消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。五、点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为14林老师教案并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。例5如图，P是抛物线C：上一点，直线过点P且与抛物线C交于另一点Q。若直线与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。解：设由　　　　　　（1）得，过点P的切线的斜率，直线的斜率，直线的方程为　　　　（2）方法一、（利用韦达定理、中点坐标公式）联立（1）（2）消去得，M为PQ的中点，消去PQ中点为

7、M的轨迹方程为方法二（点差法）由得则。将上式代入（2）并整理，得PQ中点为M的轨迹方程为【小结】一、求轨迹的一般方法：1．直接法，2．定义法，3．代入法，4．参数法，5.待定系数法，6.点差法。14林老师教案第四节：直线与圆锥曲线的位置关系一、基本知识概要：1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为x或y的方程二次项系数非零，判别式⊿=0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。2.　弦：直线被圆锥曲线截得