用“发散”提升自主学习能力

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1、用“发散”提升自主学习能力随着课程改革的不断深入，人们对学习方式的改变越来越予以关注。如今听课时常听到有人私下议论：这节课学生的自主学习不够。然而究竟什么是自主学习？课堂上又如何实施自主学习？新课标要求让过程成为目标，注重知识的形成过程，为学生提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识。而发散思维正是“尽快联想，尽多作假设和提出多种解决问题方案”的特点，有助于提高学生自主学习的能力。一、通过引导学生对问题解决思路的确定进行发散，提高学生的自主学习能力在教学过程中，用多种方法，从各个不同角

2、度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性，及时帮助学生消除思维定势的影响，扫除造成思维僵化的障碍，是培养学生思维需要解决的首要问题。教师应引导学生充分利用发散思维，从不同的角度、用不同的方法加以分析。【例1】求证：证法1：（运用二倍角公式统一角度）证法2：由tanθ（逆用半角公式统一角度），证法3：（运用万能公式统一函数种类）设tanθ=t，证法4：(由正切半角公式，利用合分比性质)证法5：(分析法)要证原式成立，只需证　　　　　　　　　；只需证（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ=（1-cos2θ）（1+cos

3、2θ+sin2θ）；即证（1-cos2θ）sin2θ+sin22θ=（1-cos2θ）sin2θ+（1-cos2θ）（1+cos2θ）；即证sin22θ=（1-cos2θ）（1+cos2θ）。上式显然成立，以上过程步步可逆，原式得证。一题多解可以拓宽思路，增强知识间的联系，让学生学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。二、通过引导学生对问题的其他变式结论进行发散，提高学生的自主学习能力。对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论，让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解。问题是激发思维的起点，矛盾是推动思维的动力。问题设计得科学

4、艺术，能激起学生的动机、开阔学生的思路、诱发求知的欲望，使学生的思维由潜伏状态转入活动状态，有利于发散思维的形成。设疑要从学生熟悉的角度和关心的事物入手，提出具有启发性、探索性的问题，使学生产生探究的认知心理。【例2】已知：sinα+sinβ=　(1)，cosα+cosβ=　(2)，由此可得到哪些结论？让学生进行探索，然后相互讨论研究，各抒己见。想法一：(1)2＋(2)2可得cos（α-β）=-　　（两角差的余弦公式）。想法二：(1)×(2)，再和差化积：sin（α+β）[cos（α-β）+1]。结合想法一可知：sin（α+β）。想法三：(1

5、)2-(2)2再和差化积：2cos（α+β）[cos（α-β）+1]。结合想法一可知：cos（α+β）。想法四：　，再和差化积约去公因式可得tg进而用万能公式可求出sin（α+β）、cos（α+β）、tg（α+β）。想法五：由sin2α+cos2α=1消去α得：4sinβ+3cosβ；消去β可得4sinα+3cosα=　（消参思想）。想法六：(1)+(2)并逆用两角和的正弦公式。(1)-(2)并逆用两角差的正弦公式。想法七：(1)×3-(2)×4：3sinα-4cosα+3sinβ-4cosβ=0，sin（α-θ）+sin（β-θ）=0，即2

6、sin∴α=2kπ+π+β（与已知矛盾舍去）或α+β=2kπ+2θ（k∈z）；则sin（α+β）、cos（α+β）、tg（α+β）均可求。开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系，要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论。这样有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。三、通过引导学生对问题的条件进行发散，提高学生的自主学习能力对问题的条件进行发散是指问题的结构确定以后，尽可能变化已知条件，进而从不同角度、用不同知识来解决问题。发散思维的特点是发散辐射广、

7、思维方向多。在数学学习中常会遇到这样的题目：一题能否多变？这类题目就凸显了数学学习在过程、积累以及实践运用中的特点。教师要能够充分启发学生的观察力和想象力，让学生的思维发散开去，努力培养学生的创新思维习惯。【例3】对于等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，显然，四个变量中知道三个即可求另一个（解方程），如：“｛an｝为等差数列，a1=1，d=-2。问-9为第几项？”然后，放手让学生自己编写题目。编题过程中，学生要对公式中变量的取值范围、变量之间的内在关系、公式的适用范围等有全面的掌握，否则，信手拈来会闹出笑话。上题中，若改d=-3，则-

8、9为第　项，显然荒谬。如此，学生对于等差数列的通项公式与求和公式的掌握会比较全面，而且能站在较高层次来看待问题，提高思维迁移的灵活性。在提倡素质教育、提高教学质量的