第二章(重力场)

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1、第二章引力场主要内容引力场强度、引力位、场方程、边界条件、狄利赫利和诺依曼问题引力、引力场、引力场强度引力位、引力位方程、边界条件狄利赫利和诺依曼问题引力场正反演问题地球重力场第一节引力、引力场、引力场强度1.万有引力定律万有引力定律描述质点间用力关系，在宏观引力场基础。万有引力常数也用表式。2.万有引力场引力场对场中质量有力作用，描述场大小引入引力场强度多个质点连续质量线分布连续质量面分布连续质量体分布3.引力场基本性质无旋性质证明：引力场为保守场，即“场力做功与路径无关”任意闭合曲面将点源包围在内，则闭合面通量为：有源性质证明：立体角如果电荷

2、呈体分布则有：证明：证明还有另外方式P91例1计算均质球壳的引力场强度,球壳总质量为M，半径为a解球内球外例2计算均质球体的引力场强度,球体总质量为M，半径为a解球内球外第二节引力位、引力位方程、边界条件1.引力位无旋场，必存在一个标量位满足：结论：引力线指向引力位增长最快的方向。这个方向与等位面垂直并指向质量的源点。两点的引力位差：物理含义：引力位差为单位质量从A点到B点时引力场所做的功。无穷远定义为0位时，空间某点的引力位可以定义为单位质量从无限远到A点时引力场所做的功。引力位与质量（源）间关系公式：多个质点连续质量线分布连续质量面分布连续质

3、量体分布注意：0位的选择在质量无限分布时，需要变通。例3计算无限长质量直线的引力位例4计算均质球壳的引力位,球壳总质量为M，半径为a例5计算均质球体的引力位,球体总质量为M，半径为a2.引力位方程在有质量分布区域内，推导：在无质量分布区域内，结论：求场的过程可以先求引力位，再求引力场强度。具体有解析解，数值解法泊松方程拉普拉斯方程3.场边界条件由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，这种变化规律称为的边界条件。为了方便起见，通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。a质量界面两侧，引力位连续。b质量界面两侧，引力场强

4、度法向分量有突变。除上述边界的条件外，常用到定解条件：c质量界面两侧，引力场强度切向分量连续。r无限远时，u=0。r趋近于0，u有限4引力场的唯一性定理反证法,求证思路:假定有两个势函数满足泊松方程及其边界条件,令,则可证明即则证明了描述了同一个场.引力位微分方程考察方程只要证明上式左边等于0,即可证明满足泊松方程及边界条件的解是唯一的，这称为引力场的唯一性定理。分两种情况：1已知表面引力位2已知表面引力位法向导数结论：满足泊松方程及边界条件的解是唯一的，或仅有一个长数之差。但是一旦确定了场中某点的引力位值后，这个常数便看唯一确定，因而各点的引力

5、位是唯一性的。第三节狄里赫利问题，诺依曼问题1.Dirichlet(狄里赫利问题):整个边界上引力位已知2.Neumann(诺依曼问题):整个边界上引力位法向导数已知3.混合边值问题1格林定理可由高斯公式推导出应用格林定理，可求出泊松方程的通解为对于无限大的自由空间，表面S趋向无限远处，引力位u与距离成反比，而dS与距离平方成正比，所以，对无限远处的S表面，上式中的面积分为零。若V为无源区，那么上式中的体积分为零。因此，第二项面积分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。2泊松方程的积分式格林函数3狄利赫利

6、和诺依曼问题的解无源场引力位u为调和函数，若引入另一函数v也是调和函数，即应用格林定理有上式同乘与下式相加称为格林函数，G为调和函数得：狄利赫利的解诺依曼问题的解例6通过地面的重力位测量，已知地面重力位求上半空间高度为z处P点引力位。例7已知地面重力场垂直分量求上半空间高度为z处P点重力场强度垂直分量4引力场的正、反演问题正演问题指根据已知的场源分布或已知边界值，去求特定区域内的场值。重力场正演就是根据已知的质量分布或已知边界条件，去求引力场强度空间分布。反演问题指根据已知的场分布确定场源分布。重力场反演就是根据已知的重力场分布，然后据此推导出地

7、下剩余质量分布。反演问题的非唯一性。方法1直接积分法例子8水平地面以下深度为h处有一长为2l，半径为a，剩余质量为M的均质水平圆柱体，当l远大于a时，计算地面上中心剖面P（x，0，0）点的引力场强度。引力场正演方法2通量定理法方法4数值解法方法3解析解法例子9计算无限大质量平面的引力势和引力场强度。例子10计算体密度为ρm，半径为a的无限长均质圆柱体的引力势和引力场强度。方法1利用泊松方程例子11已知全空间引力位为：试反演场源的质量分布，并计算总场源质量。引力场反演方法2通量计算方法3其他方法5地球重力场1地球的惯性力场2重力场强度地球的惯性力场

8、与引力场比较小很多，惯性力场场强度为无旋场。重力场强度为，引力场强度，与惯性力场强度的矢量和。3重力位4重力异常5不同坐标系中的重力公式