经济数学-微积分吴传生10-3

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1、一、微分方程在经济中的应用二、小结第三节一阶微分方程在经济学中的综合应用1.分析商品的市场价格与需求量(供应量)之间的关系解一、微分方程在经济中的应用例1某商品的需求量x对价格p的弹性为-pln3.若该商品的最大需求量为1200(即p=0时，x=1200)(p的单位为元，x的单位为千克)，试求需求量x与价格p的函数关系，并求当价格为1元时市场上对该商品的需求量.即平衡解x=0是稳定的。当价格为一元时，市场上对该商品的需求量为供求平衡价格,当求大于供即D>S时，则价格p上升.现若价格是时间t的函数p=p(t)，在时间t时，价格的变化率与此时刻的过剩需求量D-S成正比，即试求价格p与时

2、间t的函数关系.【设初始价格p(0)=p0】当供大于求即S>D时,价格p下降；【α>0为常数】解均衡价格均衡偏差解：0txa解：2.预测可再生资源的产量，预测商品的销售量例3某林区现有木材10万立方米，如果时刻t木材的变化率与当时的木材数P(t)成正比。假设10年时木材为20万立方米。若规定木材量达到40万立方米才可砍伐，问至少多少年后才能砍伐。由题设得故至少20年后才能砍伐.解：例4在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养1000条.在时刻t的鱼数y是时间t的函数y=y(t)，其变化率与鱼数y和1000-y的乘积成正比.现已知池塘内放养鱼100条，3个月后池塘内有鱼250条，求t月

3、后池塘内鱼数y(t)的公式.问6个月后池塘中有鱼多少？称为逻辑斯提(Logistic)方程。6个月后鱼数为0tyk解：例5某商场销售成本y和存储费用S均是时间t的函数，销售成本的变化率等于存储费用的倒数与常数5的和；而存储费用的变化率为存储费用的(-1/3)倍，若当t=0时，销售成本y=0，存储费用S=10.试求销售成本与时间t的函数关系及存储费用与时间t的函数关系.解：3.成本分析即成本时间函数为解：(1)４．公司的净资产分析例6某公司的净资产在运营过程中，像银行的存款一样，以年5%的连续复利产生利息而使总资产增加，同时，公司还必须以每年200百万元人民币的数额连续地支付职工的工

4、资。(1)列出描述公司净资产W的微分方程；(2)假设公司的初始净资产为W0，求净资产W(t)；(3)描绘出当W0分别为3000,4000,5000时的解曲线.净资产增长速率=利息盈取速率-工资支付速率即就是净资产所满足的微分方程.W=4000为平衡解。解：(2)(1)列出描述公司净资产W的微分方程；(2)假设公司的初始净资产为W0，求净资产W(t)；(3)描绘出当W0分别为3000,4000,5000时的解曲线.由W=4000为平衡解(3)当W0=4000时,当W0=3000时,当W0=5000时,【不稳定】0tW30004000500027.7解：３．关于国民收入、储蓄与投资关系

5、解：４．关于国民收入与国民债务问题５．关于流动收入、流动消费和流动投资问题解：解：６．关于商品存储过程中的基本衰减问题解：７．在其他方面的应用解：解：二、小结1.理解函数关系；2.建立微分方程；3.确定初始条件；4.求解.掌握一类经济问题建立数学模型的方法：练习题练习题答案