大一上学期高数知识点

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1、word资料下载可编辑第二章导数与微分一、主要内容小结1.定义·定理·公式（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义（2）定理与运算法则定理1存在.定理2若在点处可导，则在点x处连续；反之不真.定理3函数在处可微在处可导.导数与微分的运算法则：设均可导，则,,，（3）基本求导公式2.各类函数导数的求法（1）复合函数微分法（2）反函数的微分法（3）由参数方程确定函数的微分法（4）隐函数微分法（5）幂指函数微分法（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法.方法：对数求导法（即

2、先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对求导）.（7）分段函数微分法3.高阶导数（1）定义与基本公式专业技术资料word资料下载可编辑高阶导数公式：莱布尼兹公式：（2）高阶导数的求法①直接法②间接法4.导数的简单应用(1)求曲线的切线、法线(2)求变化率——相关变化率二、例题解析例2.1设,（K为整数）.问：（1）当K为何值时，在处不可导；（2）当K为何值时，在处可导，但导函数不连续；（3）当K为何值时，在处导函数连续？解函数在x=0点的导数：===即当时,的导函数为：专业技术资料word资料下载

3、可编辑为使，取即可。因此，函数当K≤1时，在处不可导；当时，在处可导，但导函数在处不连续；当时，在处可导且导函数在处连续。例2.2，求。分析本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变形就可用代数和的求导法则来求，这样就简便多了。解=。所以。如果不经过化简，直接求导则计算将是十分繁琐的。例2.3，求。分析本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦，但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简便得多。解因为所以=例2.4设，求。专业

4、技术资料word资料下载可编辑解利用积的求导法则及复合函数求导法则，有==。例2.5设方程,求.本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。解(方法一)方程两端同时对求导(y看作x的函数),由复合函数求导法可得(方法二)方程两边同时微分：所以例2.6已知,为二次可微函数,且，求,。分析这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则来求。解因为=所以。又所以=。专业技术资料word资料下载可编辑常见错解：。错误原因没有搞清求导对象.是一阶导数对求导,而是一阶导数对t求导。

5、例2.7求函数的微分。解==例2.8设,求。分析本例是求分式有理函数的高阶导数，先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和，再将有理分式写成部分分式之和，最后仿的表达式写出所给定的有理函数的n阶导数。解===（）例2.9设求的导函数的连续区间，若间断，判别类型，并分别作与的图形。专业技术资料word资料下载可编辑分析函数是用分段表达的函数.在的两侧：当时，；当时，.因此，在处，的可导情况，需根据定义来作判断，求出导函数后，再判别它的连续区间。解因为，所以在处不可导。故。因为在处无定义，所以是的

6、间断点又因为==0；=所以为的跳跃间断点。专业技术资料