2011年全国初中数学竞赛试题及评分标准“《数学周报》杯

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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1～56～1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设，则代数式的值为().（A）-6（B）24（C）（D）2．在同一直角坐标系中，函数（）与（）的图象大致是（A）（B）（

2、C）（D）3、在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使⊿PAB、⊿PBC、⊿PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数（）（A）1（B）7（C）10（D）1574．若，，且满足，则的值为().（A）1（B）2（C）（D）5．设，则的整数部分等于().（A）4（B）5（C）6（D）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是.　　　　。7．若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是.8．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字

3、分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是.9．如图，点为直线上的两点，过两点分别作y轴的平行线交双曲线（）于两点.若，则的值为.（第10题）（第9题）10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为.三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值。12.已知关于的一

4、元二次方程的两个整数根恰好比方程7的两个根都大1，求的值.13．如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（1）求证：∠=∠；（2）若点的坐标为（0，1），且∠=60º，试求所有满足条件的直线的函数解析式.（第13题）14如图，△ABC中，，7．点P在△ABC内，且，求△ABC的面积．（第14题）7中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．A.2.C.3.C.4.C.5.A二、填空题6.7．3＜m≤4.8．.9．6.10．84三、解答题1

5、1.解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a要使等式（b＋4）k＝7－2a不论k取什么实数均成立，只有解之得　，12．解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得，两式相加得，即，所以或解得或又因为所以；或者，故，或29.13．解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.7设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为,.由（第13题）得，于是，即.于是又因为，所以.因为∠∠，所以△∽△，故∠=∠.（2）设，，不妨设≥>0，由（1）可知∠=∠，=，=，所以

6、=，=.因为∥，所以△∽△.于是，即，所以．由（1）中，即，所以于是可求得7将代入，得到点的坐标（，）.再将点的坐标代入，求得所以直线的函数解析式为.根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或.14．解：如图，作△ABQ，使得则△ABQ∽△ACP.由于，所以相似比为2.于是（第14题）．.由知，，于是．所以，从而．于是.故．7