一维热传导方程定解问题的两种积分变换解法.pdf

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1、第15卷第1期高等数学研究VoI．15，No．12012年1月STUDIESINC0LLEGEMATHEMATICSJan．，2012一维热传导方程定解问题的两种积分变换解法金启胜(安庆职业技术学院公共基础部，安徽安庆246003)摘要利用Fourier变换和Laplace变换的一些性质求解一维热传导方程的定解问题，将两种求解方法进行比较，给出两种求解方法的区别和联系．关键词Fourier变换；Laplace变换；热传导方程中图分类号O175．2文献标识码A文章编号‘1008—1399(2012)Ol一0071—

2、02Fourier变换和Laplace变换在许多工程技术和程的初值问题科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系[㈤]，统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机【u(甜，)J。：o，服务系统等系统科学中都起着重要的作用．人们在其解为研究这些系统时，往往从实际问题出发，将研究的对象归结为一个数学模型，在通常情况下，这个数学模UG,，一e-~O2ast(d5、型是线性的，换言之，这个数学模型可以用线性的积对上式两端取Fourier正弦逆变换，并利用已知的积分方程、微分方程、微分积分方程以及偏微分方程等分公式来

3、描述．利用Fourier变换和Laplace变换的性质求解这些线性方程时步骤明确、方法一致，而且根据现JfeI。22c。s妇dz一e一b2，0口成的Fourier变换表和Laplace变换表，避免了复杂因此，原定解问题的解为运算．这在工程技术中应用十分广泛_1]．u(x，￡)：F-[己，(∞，￡)]一下面我们就利用Fourier变换和Laplace变换两种积分变换方法同时求解一维热传导方程定解问呈f+ou(，￡)ind：7rJ0题，并进行比较．例1求鳃定解问题Ⅲ∞e-a2wZ

4、o)，警c[=sinl-+1l一一()，22(t-Oa．,XCOS-【I。一0．解法1(Fourier变换法)对方程和初始条件22(t-~)a~JCOS啦d一关于z取Fourier正弦变换．记FEu(x，￡)]一Iu(x，t)sindz一【，((u，￡)，2nJfo(一)号f乇⋯⋯解法2(Laplace变换法)对方程和初始条件砖一sin出一一，关于t取Laplace变换．记F[Io]一U(oJ，￡)I；o，LEu(x，￡)]一U(x，s)，F[]一L，()，L[笔]sU(x一If=o—sU(x，将求解原

5、定解问题化为求解含有参数的常微分方L[象]一叁，收稿日期：2010—09-08；修改日期：201I-12—06L[(￡)]一(s)．基金项目：2010年安庆职业技术学院教学改革课程(2010JGKC019)作者简介：金启胜(1972-)，男，安徽桐城人，硕士，副教授，主要从事由热传导方程的物理意义可知微分方程研究．Email：jinqisheng2008@yahoo．ell(z．￡)÷0(z+∞．72高等数学研究U(z，s)÷0(z+∞)，L1[e一]一L[s(÷e_)]一[erfc(]原定解问题就转化为二阶常系

6、数线性齐次微分方程的边值问题[：未e-rzdr]一xe一，d一u：0，z0’因此，原定解问题的解为【Ul。=(s)．u(x，)：7Kt)*L[e-~5]：该齐次微分方程的通解为I()*考一u(z，)一+e{r，2at√兀t根据边界条件r—rf盟3e。-赢2卜t，。u}：o一()，limU(z，)一0，Zn√丌(t一)2在求解线性偏微分方程的定解问题时，首先，根可得据自变量的变化范围选取变换方法．如果自变量的Cl：0，一(5)，变化范围为(一∞，+oo)，选取Fourier变换方法；如故通解为、果自变量的变化范围为

7、(O，+o0)，选取Laplace变换U(z，)一(s)e{z一(s)．方法，也可选取Fourier正弦或余弦变换方法．其次，从而原定解问题的解为要考虑所给定解条件的形式，如果对某自变量取u(x，￡)一(￡)*L[]．Laplace变换，必须在定解条件中给出该自变量为零根据Laplace变换简表得时的未知函数值及低于方程阶数的各阶导数值；如州÷s：edcc9一dr．果对某自变量取Fourier正弦变换，必须在定解条件．nIttj÷中给出该自变量为零时的未知函数值；如果对某自由题意可知变量取Fourier余弦变换，

8、必须在定解条件中给出该fe—r2dr一0(z一+∞)，自变量为零时的未知函数导数值，否则变换后的象盍函数的常微分方程的定解不确定，从而原定解问题这也等价于无法确定引．le-rdr一0(￡一0)．参考文献若记Eli金启胜，周宗福．利用Fourier变换求一维波动方程)一。re()一eCauchy问题的定解EJ]．甘肃联合大学学报：自然科学2n4t√丌版，2009，23(S2