热传导方程及其定解问题的导出.docx

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1、第一章热传导方程本章介绍最典型的抛物型方程—热传导方程,在研究热传导,扩散等物理现象时都会遇到这类方程.§1热传导方程及其定解问题的导出1.1热传导方程的导出物理模型在三维空间中,考虑一均匀,各向同性的物体,假定它部有热源,并且与周围介质有热交换,需要来研究物体部温度的分布和变化.以函数u(x,y,z,t)表示物体在位置(x,y,z)及时刻t的温度.物体部由于各部分温度不同,产生热量的传递,它们遵循能量守恒定律.能量守恒定律物体部的热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体部的热源所生成的热量的总

2、和.在物体任意截取一块D.现在时段[t1,t2]上对D使用能量守恒定律.设uu(x,y,z,t)是温度(度),c是比热(焦耳∕度·千克),是密度(千克/米3),q是热流密度(焦耳/秒·米2),f0是热源强度(焦耳/千克·秒).注意到在dt时段通过D的边界D上小块dS进入区域D的热量为qndSdt(n是D的外法向),从而由能量守恒律,我们有2c(u

3、ttDu

4、t1t)dxdydzt2dtqt1Dndst2dtf0dxdydz,t1D（1.1）大家知道,热量流动的原因是因为在物体部存在温差.依

5、据传热学中的傅立叶实验定律,在一定条件下,热流向量与温度梯度成正比qku,（梯度ugraduu,u,uxyz）（1.2）这里负号表明热量是由高温向低温流动,k是物体的导热系数.uqnkunk,n从而(1.1)式可改写为c(u

6、tt2Du

7、tt1)dxdydzt2dtkt1DudSnt2dtft1D0dxdydz(1.3)假设u(x,y,z,t)在柱体(0,)具有连续微商u2u,2,txu2u2y2,z2.则应用散度定理(或高斯公式)立得:t2ut2dtcdxdydzdt(ku

8、)f0dxdydz,t1Dtt1D由于被积函数在(0,)连续,以及[t1,t2],D的任意性,又由于物体均匀,各向同性,c,,k都是常数,立得:cu(ku)tf0,(u),,xyz222uktcu,u,xy(u)uzf0,cuuuxxyyzzuux2y2u记为u,z2令a2k,fcf0,c是三维Laplace算子,则称为热传导方程.ua2uf,t（1.4）当f0时表示热源,当f0时表示热汇.为了具体确定物体部的温度分布,我们还需要知道物体的初始温度分布以及通过物体的边界受周围介

9、质的影响.初始条件u(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)边界条件有三类:1.已知边界上的温度分布ug(x,y,z,t),这里[0,).特别当g常数时,称物体的边界保持恒温.1.已知通过边界的热量ukg(x,y,z,t),n(n为上的单位外法向量),g0表示流入,g0表示流出,特别当g0表示物体绝热.3已知通过边界与周围介质有热交换.uuk0g0u,或unng(x,y,z,t),这里g0表示周围介质温度,定解问题00表示热交换系数.k3为了具体确定物体的温度场,我们需要求解热传

10、导方程的某一特定的定解问题.设是空间R中的有界开区域.第一初边值问题ua2uf,t(x,y,z,t)(0,)u(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)ug(x,y,z,t)第二初边值问题ua2uf,t(x,y,z,t)(0,)u(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)ug(x,y,z,t)n第三初边值问题ua2utf,(x,y,z,t)(0,)u(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)uug(x,y,z,t)n初值问题(或称Cauchy问题)ut

11、a2uf,(x,y,z,t)R3(0,)u(x,y,z,0)(x,y,z),(x,y,z)R3什么是定解问题的解(解说一下)验证u1u(x,t)22at2ux是方程22ua20的一个解;tx2u(x,t)x21e4a2t,t0(是参数)是方程ua2u0的一个解.22attx2数学物理方程的主要问题,在推导出方程之后,求出方程的解.然而求出一个偏微分方程的精确解一般是困难的.附注1方程uta2uf虽然通常称为热传导方程,但绝不只用来表述热传导现象.事实上,自然界还有很多现象同

12、样可用这个方程来刻划,一个重要的例子是考虑某类分子在介质(如空气,水,)中的扩散.浓度u的不均匀产生分子运动(扩散),它遵循质量守恒定律.根据Nernst实验定律:分子运动速度与浓度的梯度成正比:vDu,D称为扩散系数.从而同样可导出分子浓度u适合的方程ua2utf,这里a2是一个与扩散系数成正比的常数,f表示反应项.因此人们通常把方程ua2utf称为扩散方程,而a2u称为扩散项.附注2对某些三维问题,如果根据问题的某些性质,适当