ch2(大字)矩阵(1)

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1、第二章矩阵矩阵是线性代数的主要研究对象。它在线性代数与数学的许多分支中都有重要应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用有关理论得到解决。本章介绍矩阵的概念，矩阵的基本运算，矩阵的秩，可逆矩阵以及矩阵的初等变换，分块矩阵的概念及其运算。最后，利用矩阵的有关概念与方法讨论线性方程组的解法及有解的条件。第一节矩阵的概念在初等数学中，可用代入消元法或加减消元法解线性方程组，我们将由此引入矩阵的概念。例2.1解线性方程组解由消元法，我们按下述的步骤求解这个方程组。将方程两端同时乘以（—2）加至方程的两端（简述为方程的（—2）倍加至），的（—2）倍加至，得交换与，得的（—3）倍加至

2、，得两端乘，得的3倍加至，的（—1）倍加至，得的1倍加至，得两端乘，得可以看出，、及给出了方程组的解。例2.1中所用的消元法的过程，实际上是对方程组施行如下的操作或变换，称之为线性方程组的初等变换（1）交换两个方程在方程组中的位置；（2）一个方程的两端同时乘以一个不等于零的数；（3）一个方程的两端乘以同一个数后加至另一个方程的两端。不难看出，线性方程组经初等变换后，所得方程组解的集合与原方程组解的集合相同称解的集合相同的线性方程组为同解方程组。同时我们也发现，方程组的初等变换实质上是方程组中未知数系数和常数项的变换，那么方程组的求解过程可用数表表示为由此可以看出，将

3、方程组未知数的系数和常数项排成一个数表，由此建立起方程组和数表之间的一一对应关系，将对方程组所作的初等变换转换为数表之间相应的变换，这样不仅运算简捷，而且抓住了问题的实质，便于揭示线性方程组的内在规律。因此，凯莱在1857年引入了数学上的一个强有力的工具——矩阵。定义2.1有mn个数（i=1~m;j=1~n）排成的m行n列的数表称为一个m行n列矩阵，简称m´n矩阵，表示位于矩阵中第i行第j列的数，又称为矩阵的元素。矩阵用大写的英文字母A、B等表示。以为元素的矩阵也可简记为A=。特别地，当m=n=1时，定义（）=。元素都是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩

4、阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.下面介绍几种常用的特殊矩阵。（1）行矩阵和列矩阵仅有一行的矩阵称为行矩阵（也称为行向量），如A=也记为A=仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如A=（2）零矩阵：若一个矩阵的所有元素都为零，则称这个矩阵为零矩阵，如，一个m´n的零矩阵为记为，在不会引起混淆的情形下，也记为O。（3）方阵行数和列数相同的矩阵称为方阵，例如，A=为n´n方阵，常称为n阶方阵或n阶矩阵，常记为A=（4）对角矩阵主对角元以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。如A=为n阶对角矩阵，其中未标记出的元素全为零，即=0，常简记为A=。（5）单位矩阵主对角

5、线上的元素全为1的对角阵称为单位矩阵，简记为E或，如=表示n阶单位阵（6）数量矩阵主对角线上的元素全为k的对角阵称为数量矩阵，如其中k是常数为一n阶数量矩阵。（7）三角矩阵主对角线上（下）方的元素全为零的方阵称为下（上）三角矩阵，如为n阶下三角矩阵，即=0，（8）对称矩阵与反对称矩阵在方阵A=中，如果，则称A为对称矩阵。如果A还是实矩阵，则称A为实对称矩阵。如果，则称A为反对称矩阵。行数与列数都相等的两个矩阵称为同型矩阵。定义2.2设矩阵A=与矩阵B=是两个同型矩阵，如果=.则称矩阵A与矩阵B相等，记做A=B第二节矩阵的运算一、矩阵的加法定义2.3设A=，B=是两个

6、同型矩阵，称m´n矩阵C=为矩阵A与矩阵B的和，记为A+B若引进矩阵称之为矩阵A=的负矩阵，记为—A。矩阵A与矩阵B的差则定义为A—B=A+（—B）由定义，不难验证，矩阵的加法满足下面的运算律：命题2.1设A、B、C是同类型矩阵，则（1）A+B=B+A（加法的交换律）;（2）（A+B）+C=A+（B+C）（加法的结合律）;（3）A+O=O+A=A，其中O是与A同类型的零矩阵；（4）A+（—A）=O.例2.2设A=，B=，求A+B及A—B.解A+B=+=.二、数与矩阵相乘定义2.4设A=，k是一个数，则称矩阵.为数k与矩阵A的数量乘积，简称数乘，记为kA。数乘矩阵满足

7、下列运算规律：命题2.2设A、B为m´n矩阵，、为常数，则（1）（）A=（A）;（2）（+）A=A+A;（3）（A+B）=A+B.矩阵相加与数乘合起来，统称为矩阵的线性运算。例2.3设A=，B=。求矩阵X，使3A+2X=B解在等式3A+2X=B两边同时加上—3A，得2X=B—3A，两边同乘，即：X=—=.三矩阵的乘法下面给出矩阵与矩阵的乘积的一般定义。定义2.6设A=是一个m行s列的矩阵，B=是一个s行n列的矩阵，那么矩阵A与矩阵B的乘积是一个m行n列的矩阵C=，其中并把此乘积记作C=AB从矩阵乘积的定义可见，不是任何两个矩阵都可以相乘,位于左边的矩阵的列数与位