必修一函数讲义.doc

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1、第一次课函数一、知识要点1.函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

2、x∈A}叫做函数的值域.2.两个函数相等：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则，当函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也随之确定.因此，函数的定义域和对应法则为函数的两个基本条件，

3、当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，称这两个函数相等.3.求函数的定义域要从以下几个方面考虑：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数大于等于零；(3)对数的真数大于零；(4)指数函数与对数函数的底数必须大于零且　不等于1；(5)函数y＝x0的定义域是{x

4、x∈R且x≠0}.4.函数的表示法：函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法　.5.映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A

5、到集合B的一个映射.二、典例精析题型一：求函数的解析式【例1】(1)已知f(x)＝2x＋3，求f(x－1)的表达式；(2)已知f(x＋1)＝x2＋x＋1，求f(x)的表达式；(3)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x＋3，求f(x)的表达式.【解析】(1)把f(x)中的x换成x－1，得f(x－1)＝2(x－1)＋3＝2x＋1.(2)设x＋1＝t，则x＝t－1，代入得f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，所以f(x)＝x2－x＋1.(3)由f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x＋3，x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝

6、3x2－5x＋3，解得f(x)＝x2－5x＋1.【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f(x)的解析式，常常是设g(x)＝t，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f()＝，求f(x).【解析】设u＝，则＝u－1(u≠1).由f(u)＝1＋＋＝1＋(u－1)＋(u－1)2＝u2－u＋1.所以f(x)＝x2－x＋1(x≠1).题型二：求函数的定义域29【例2】(1)求函数y＝的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[－

7、2，4]，求f(x2－3x)的定义域.【解析】(1)要使函数有意义，则只要即解得－3＜x＜0或2＜x＜3.故所求的定义域为(－3，0)∪(2，3).(2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4，解得－1≤x≤1或2≤x≤4.故f(x2－3x)的定义域为[－1，1]∪[2，4].【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x来对待.【变式训练2】已知f(x)的定义域为(－1，1)，求函数F(x)＝f(1－x)＋f()的定义域.【解析】由得1＜

8、x＜2，所以F(x)的定义域为(1，2).题型三：由实际问题给出的函数【例3】用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB＝2x，设宽为a，则有2x＋2a＋πx＝l，即a＝－x－x，半圆的半径为x，所以y＝+(－x－x)·2x＝－(2＋)x2＋lx.由实际意义知－x－x＞0，因为x＞0，解得0＜x＜.即函数y＝－(2＋)x2＋lx的定义域是{x

9、0＜x＜}.【点拨

10、】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是x∈R，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x表示的，这就是实际问题对变量的制约.题型四：分段函数29【例4】已知函数求(1)f(1)＋f(－1)的值；(2)若f(a)＝1，求a的值；(3)若f(x)＞2，求x的取值范围.【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4.(2)当a＜0时，f(a)＝a＋3＝1，解得a＝－2；当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a＝

11、0.所以a＝－2或a＝0.(3)当x＜0时，f(x)＝x＋3＞2，解得－1＜x＜0；当x≥0时，f(x)＝x2＋1＞2，解得x＞1.所以x的取值范围是－1＜x＜0或x＞1.【点拨】分段函数中，x在不同的范围