第十二讲 圆

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1、第十二讲圆李树臣12.1圆的性质基础盘点1.圆是的集合.2．圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是图形，是它的对称中心.3．垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的直径于弦，并且平分.4．如果在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别.5．同弧或等弧所对的圆周角；半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是.6.圆内接四边形的对角.考点呈现考点1圆周角与圆心角的关系例1（2015•眉山）如图1，⊙O是△ABC的外接圆

2、，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A.30°B.35°C.40°D.45°图1图2解析：如图2，连接OA.因为OA=OC，∠ACO=45°，所以∠OAC=45°，所以∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°.所以∠B=∠AOC=45°．故选D．图3评注：熟知“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”是解答此题的关键．考点2圆内接四边形的性质例2（2015·常德）如图3，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（）A.50°B.80°C.

3、100°D.130°解析：因为∠BOD＝100°，所以∠A=50°，所以∠BCD=180°-∠A=180°-50°=130°.故选D.评注：本题用到了圆周角与圆心角的关系及圆内接四边形的对角互补的性质.考点3垂径定理例3（2015•衢州）一条排水管的截面如图4所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m,则此时排水管水面宽CD等于m.解析：如图5，连接OC，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，则OE⊥CD，AE=BE，CF=DF.因为OA=1，AB=1.2，所以A

4、E=0.6，所以OE==0.8（m）.因为下雨后，水管水面上升了0.2m，即EF=0.2m，所以OF=0.6m.所以CF===0.8（m）.所以CD=2CF=1.6（m）.评注：作出辅助线OE⊥AB构造直角三角形是解答本题的基本思路，而首先利用勾股定理求出OE进而得到OF是关键的一步，然后利用勾股定理求出CF.图4图5考点4圆的性质的综合应用例4（2015•威海）如图6，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．图6图7

5、[来源:Zxxk.Com]分析：对于第（1）问，连接AE，根据圆周角定理，由AC为直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；对于第（2）问，要先连接DE，证明△BED∽△BAC，然后利用相似三角形的性质可计算出AB的长，从而得到AC的长．解：（1）连接AE，如图7.因为AC为⊙O的直径，所以∠AEC=90°，所以AE⊥BC.又AB=AC，所以BE=CE.（2）连接DE，CD,如图7.因为BE=CE=3，所以BC=6.因为AC为⊙O的直径，所以∠ADC=90°.所以∠BAC=90°-∠A

6、CD.因为∠BED=90°-∠DEA,∠DEA=∠ACD,所以∠BED=∠BAC.又因为∠DBE=∠CBA，所以△BED∽△BAC，所以，即，所以BA=9，所以AC=BA=9．评注：本题考查了圆周角定理及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.误区点拨1．对圆内接四边形的概念理解不清致错例1（2015·临沂）如图8，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=1000，则∠ABC等于()A.50°B.80°C.100°D.130°图9图

7、8错解：B图10剖析：此题主要考查圆内接四边形的对角的性质，解答的前提是正确理解圆内接四边形的概念.圆内接四边形的四个顶点都要在圆上，本题中的点O不在⊙O上，所以不能利用“对角互补”的性质.错解的原因就在于没有搞清楚概念的本质.正确的解答为：如图9，因为∠AOC=100°，所以∠D=∠AOC=50°，因为圆内接四边形的对角互补，所以∠ABC=180°-50°=130°.故选D.2．忽视分类讨论致错例2（2015·绍兴）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，

8、PB.若PB=4，则PA的长为.错解：3剖析：本题应分两种情况，如图10所示，当点P与点A在BC同侧时，四边形BCAP1是矩形，P1A=BC=3；当点P与点A在BC异侧时，四边形P2EAP1是矩形，P1A==.所以PA的长为3或.跟踪训练1.（2015·泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（）A．B．C．D．8第1题图第2题图2