高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题6 立体几何 第26练 完美破解立体几何的证明问题 文

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1、第26练　完美破解立体几何的证明问题[题型分析·高考展望]　立体几何证明题是高考必考题，证明平行、垂直关系是主要题型，特别是垂直关系尤为重要．掌握判定定理、性质定理并能灵活运用是解题的根本．学会分析推理的方法和证明技巧是提升推理能力的关键，在二轮复习中，通过专题训练，使解立体几何证明的能力更上一层楼，确保该类题型不失分．体验高考1．(2015·福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　m垂直于平面α，当l⊂α时

2、，也满足l⊥m，但直线l与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l∥α，一定有l⊥m，必要性成立．故选B.2．(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.3．(2016·课标全国甲)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交

3、BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′；15(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′ABCFE的体积．(1)证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得＝，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)解　由EF∥AC得＝＝.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以A

4、C⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由＝得EF＝.五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.所以五棱锥D′ABCFE的体积V＝××2＝.4．(2016·四川)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.(1)解　取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：因为AD∥BC，BC＝AD，所以BC∥AM，且

5、BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，所以CM∥AB.又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB.15所以CM∥平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因为AD∥BC，BC＝AD，M为AD的中点，连接BM，所以BC∥MD，且BC＝MD.所以四边形BCDM是平行四边形，所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.又BD⊂平面PBD，所以平面PA

6、B⊥平面PBD.5．(2016·课标全国丙)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积．(1)证明　由已知得AM＝AD＝2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.15因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)解　因为PA⊥平面ABCD，N

7、为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.由AM∥BC得M到BC的距离为，故S△BCM＝×4×＝2.所以四面体NBCM的体积VNBCM＝×S△BCM×＝.高考必会题型题型一　空间中的平行问题例1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明　(1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD

8、1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面B