矩阵及变换常见题型解析(待发数学周报)

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1、矩阵与变换常见题型解析江苏袁军矩阵与变换这是选修部分的内容，属于附加题中的选做内容。从江苏08，09年高考的试题来看，10年的这部分内容考查不会难，还会以常见题型来进行考查。下面就本书中的常见题型进行归纳解析，希望对同学们掌握这部分内容有所帮助。题型一.二阶矩阵与线性变换例1.设，若矩阵把直线变换为另一直线，试求的值.分析：选取直线上两个特殊的点，两个点在矩阵A的变换下在上，然后将两个新的点代入直线即可求出参数的值.解：取上两点和，则，，而由题意知，在直线上，∴，则解得，.点评：线性变换是基本变换，解这类

2、问题的关键是由得到两个点之间的关系，而这两个点之间的关系也是建立变换前后曲线关系的桥梁.【牛刀小试1】设，若矩阵将直线变为直线，求，的值.解：取直线上两点（1，0）和（0，1），则，，由题意得，在直线上，∴，则解得，.题型二.求已知矩阵的逆矩阵例2.判断矩阵是否存在逆矩阵，若存在，试求出其逆矩阵.分析：一个矩阵是否存在逆矩阵，关键看其对应的二阶行列式的值是否为0，若不为0，则存在逆矩阵.解：矩阵M对应的行列式的为，则其行列式的值，故矩阵M存在逆矩阵.设M的逆矩阵为，则，则有，则解得，，，.故M的逆矩阵为.

3、点评：求解已知矩阵的逆矩阵，主要就是利用两个互逆的矩阵的积等于单位矩阵，然后利用其实就是解二元一次方程组.【牛刀小试2】求矩阵的逆矩阵.答案：.题型三.二元一次方程组的解法例1.用矩阵知识求解二元一次方程组分析：矩阵的知识解决二元一次方程组，可以用二阶行列式表示二元一次方程组的解，计算出相应的量后代入公式即可；当然还可用逆矩阵从几何变换的角度，也可求解二元一次方程组.解法一：将原方程组写为，∴.，.∴，.∴该方程组的解为.解法二：将原方程组化为，设，，,∴.∵，∴，∴原方程组的解为.点评：本题用了二阶行列

4、式和二阶矩阵去研究二元一次方程组解的情况，仅说明矩阵知识是研究方程组解的一种新方法，从过程上来看，并不比消元法优越多少，但是当方程组未知数个数较多时，就能显示其优越性.【牛刀小试3】用矩阵的知识解方程组.答案：.题型四.多次变换的计算已知矩阵，，试计算.分析：利用特征值和特征向量，可以方便地计算多次变换的结果，应用公式时要熟悉各个系数的意义，并分别求出代入.解：设矩阵的特征多项式为.令，得的特征值为，，它们对应的一个特征向量分别为，.令，∴，即，∴.点评：多次变换的计算时以矩阵的特征值与特征向量为基础，注

5、意属于某一特征值的特征向量并不惟一，只要求出一个特征向量即可.对于中各参数值的意义要理解，可用待定系数法分别求出，再代入计算.【牛刀小试4】已知矩阵，向量，求.答案：.