大学物理备课笔记03.pdf

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1、第三章刚体定轴转动的基本定律第三章刚体定轴转动的基本定律刚体是一个特殊的质点系统，但我们仍然可以运用质点的运动的规律加以研究从而使牛顿力学的研究范围从质点扩展到刚体。§3.1转动动能、转动惯量计划学时：2基本概念转动惯量重点，掌握质量密度掌握基本关系或规律刚体转动动能的描述掌握任务目标1.理解质点系和质量连续分布刚体转动惯量的计算形式；2.理解常见物体对不同轴的转动惯量的推到，并牢记细棒对中心轴和端点轴、圆环对中心轴和直径轴、薄圆盘对中心轴的转动惯量；3.了解平行轴定理和垂直轴定理。作业一、转动动能刚体以角速度ω转动时，刚体上不同的质点的线速度

2、并不相同。我们找任意一个质点i，其质量为m，定轴转动的半径为r，则该质点的动能ii12122mv=mrωiiii22则刚体的转动动能就是所有质点动能之和：121⎛2⎞2Ek=∑mivi=⎜∑miri⎟ωi22⎝i⎠~39~物理教研室Lyon2我们定义I=∑miri为转动惯量，则刚体的转动动能i12E=Iωk212我们把转动动能和平动动能相比较，E=mv，v↔ω，m↔I。可见，在k2平动中，我们用质量m来描述物体的惯性；在转动中，我们用转动惯量{momentofinertia}I来描述转动物体的惯性。2转动惯量的国际单位是kg⋅m。【思考】孙悟空

3、在耍金箍棒时，一般会手持什么地方？手持中间部位与手持一端，用同样力作用，达到的转动速度相同吗？【video4m50s】惯性大小可以衡量一个物体的运动状态是否容易改变，对于平动，只用质量的大小即可；但对于转动，即使质量相同的物体，如果形状不同（质量分布不同），转动状态是否容易改变也是不同的。所以，转动的惯量1)、与质量有关2)、与质量对转轴的分布有关（即形状、转轴位置）二、转动惯量的计算1、计算公式2对于质点系：I=∑mirii2对于质量连续分布：I=∫rdmm2、质量密度a)、线密度λ：质量沿线分布，线的长度远远大于线截面的直径（l>>D）。d

4、mmλ=（若均匀分布，有λ=）dllb)、面密度σ：质量分布在一个平面内，面的线度远远大于面的厚度（l>>h）。dmmσ=（若均匀分布，有σ=）dSSc)、面密度ρ：质量分布在三维立体内。dmmρ=（若均匀分布，有ρ=）dVV在今后的学习中，我们还会学习到电荷密度的概念，也会涉及到上述三种密~40~第三章刚体定轴转动的基本定律度分布，一定要领会好上述密度的概念。3、应用举例a)、两质点组成的体系的转动惯量此模型属于质点系，则222I=∑miri=m1r1+m2r2i()()2222=mlsinα+mlsinα=mlsinαb)、均匀细杆的转动惯

5、量设细杆的质量为m，长度为l，质量属m于连续分布，则质量线密度λ=，我们取l一小段质元，质量为dm，长度为dx，mdm=λdx=dx。l我们分析如下三种情形：(1)、转轴通过细杆中心且与细杆垂直ll222mm3212I=xdm=xdx=x=ml∫m∫l−l3ll122−2(2)、转轴位于细杆一端且与细杆垂直l2l2mm312I=∫xdm=∫xdx=x=mlm0l3l30(3)、转轴通过距离细杆中心h处一点，且与细杆垂直ll+h22+h2mm32I=xdm=xdx=x∫m∫−⎛l−h⎞l⎜⎟l3l⎛⎞⎝2⎠−⎜−h⎟⎝2⎠122=ml+mh12在

6、此，给出平行轴定理：设刚体绕通过其质心的转轴的转动惯量为I，如果0有另一条轴线与这个通过质心的轴线平行，且两轴线间的距离为h，则通过这个新2转轴的转动惯量I=I+mh。0c)、均匀圆环的转动惯量~41~物理教研室Lyon设圆环的质量为m，半径为R，质量属于连续分布，则质量线密度mλ=，我们取一小段质元dm，2πR其长度为dl，则mmdm=λdl=dl=dθ。2πR2π我们分析如下两种情形：(1)、转轴通过圆环中心且与圆环所在平面垂直我们选取的质元dm与转轴的距离总是R，则222I=∫Rdm=R∫dm=mRmm(2)、转轴通过圆环中心且在圆环所在

7、平面内m我们选取的质元dm到转轴的距离为是Rsinθ，而dm=dθ则2π22222π22mmR2π1-cos2θmRI=∫mRsinθdm=∫0Rsinθdθ=∫0dθ=2π2π22我们看到，如果在(1)的情形下，如果以圆心为原点，圆环所在平面为xOy平222222面，则R=x+y，则I=Rdm=xdm+ydm=I+I。z∫m∫m∫mxy在此，我们给出垂直轴定理：如果一刚体质量分布在xOy平面内，有I=I+I。zxyd)、均匀薄圆盘绕过其圆心的垂直轴的转动惯量设圆盘的质量为m，半径为R，质量属m于连续分布，则质量面密度σ=，我们2πR取一同心小

8、圆环作为微元进行研究，距离圆心r，宽度dr，则这个圆环的面积dS=2πrdr，其质量为:m2mdm=σdS=2πrdr=rdr22πRR则这个微元圆环