分形是一个新概念

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1、浅谈分形摘要：分形某些概念，最早可追述到一百多年前，接着又有不少科学家提出分形的图例和理论，但是那时由于受传统理论的约束，不仅没有得到应有的发展，而且被一些科学家视为“异类”，是不合常理的，是不能接受的。涉及分形理论的典型代表有1860年，瑞士一个数学家塞莱里埃(C.Cellerer)提出“连续函数必定可微”是错误的，并给出反例。1883年，德国数学家康托(G.Cantor)构造的康托三分集。1890年意大利数学家皮亚诺(G.Peano)构造的平面曲线，它是一种充满空间的曲线，称为皮亚诺曲线。1904年，瑞典数学家柯赫(H.vonKoch

2、)构造出柯赫雪花曲线。1910年，德国数学家豪斯道夫(F.Hausdorff)开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念等。1919年，豪斯道夫(F.Hausdorff)给出维数的新定义，为维数的非整数化提供了理论基础。曼德尔布罗特于1967年在科学杂志上发表了一篇具有启发性的文章：“英国的海岸线有多长？”，引起了世人的关注。1975年曼德尔布罗特用法文出版了第一部分形著作《分形对象：形、机遇和维数》，由描述碎石的拉丁文fractus，创造出分形（fractal）一词，创立了分形几何学(fractalgeometry)。在此基础上,形成

3、了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractaltheory)。分形是一个新的概念，不同的专家有不同的定义方法。当然，不同的说法所描述的还是同一件事物，只是强调其不同的侧面，不同的属性而已。　　从直观上来看，所谓分形是指一些无法用常规的、传统的几何方法描述的图形。例如天空的云彩、曲折的江河和海岸线、树叶、山峰等。它们不同于正方形、圆、直线等规则的几何图形，表现出某种混乱和不规则。通常的度量概念，如长度、面积等，对它们来说，不仅很难计算，而且有时根本是无法计算的。例如，曾有科学家提出了这样一个似乎荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是

4、无穷大。”他的论证思路是这样的：海岸线是破碎曲折的，我们测量时总是以一定的尺度去量得某个近似值，例如，每隔100米立一个标杆。这样，我们测得的是一个近似值，是沿着一条折线计算而得出的近似值，这条折线中的每一段是一条长为100米的直线线段。如果改为每10米立一个标杆，那么实际量出的是另一条折线的长度，它的每一个片段长10米。显然，后一次量出的长度将大于前一次量出的长度。(注意，这种测量结果与尺度有关的现象，对于通常的直线线段，正方形，圆和椭圆都是没有的。)如果我们不断缩小尺度，所量出的长度将会越来越大。这样一来，海岸线的长度不就成为无穷大了

5、吗?这个例子直观地显示出了分形与我们习惯的几何图形的区别。几千年来，人们的视野局限于所谓“常规”的几何图形上，而忽视了这些“非常规”的、“不规则”的图形。然而，本世纪中叶以来，人们发现，在这些“非常规”的、“不规则”的图形中蕴藏着丰富的、有趣的规律和性质。　　从理论上说，分形可以定义为“非整数维数的点集”。当然，要理解这个概念，必须先推广维数的概念。一般来说，维数都是整数，直线线段是一维的图形，正方形是二维的图形等等。那么，如上所说的海岸线是几维的呢?如果不确切地描述一下，那就可以说，由于海岸线的曲折和不规则，作为一个点集，它所包含的点比

6、直线线段上的点要更“多”一些，当然，它并没有铺满平面，所以它比平面(例如一个正方形或圆)上的点要“少”一些。如果从点的“多少”来理解维数的话，那么海岸线的维数应当是大于1而小于2的一个数，即具有非整数的维数，所以海岸线是一个分形图案(近期的研究表明，海岸线的维数大约是1.2)。在下一节里，我们会看到几个典型的分形图案，并进一步体会分形的含义。当然，确切的、非整数维数的定义需要专门的、建立在集合论和数理逻辑基础之上的讨论，这里无法详细叙述。有兴趣的读者可以参看本文后面所介绍的有关文献，例如文献［1］。　　另一方面，我们可以从分形图案的特点去

7、理解它。分形图案有一系列有趣的特点，如自相似性、对某些变换的不变性、内部结构的无限性等。所谓自相似性是指分形图案往往和它自身的一部分相似，换句话说，把它的一部分按一定的尺度放大，就又会得到它自身(可能是确切地，也可能是近似地)。内部结构的复杂与精细也是分形图案的共同特点。此外，分形图案往往和一定的几何变换相联系，在这些变化下，图案保持不变，从任意的初始状态出发，经过若干次的这种变换，图形将固定在这个特定的分形图案上，而不再发生变化。这些特征，我们可以从后面的几个例子中体会。有人认为分形只是一种纯理论研究的对象，似乎和实际应用距离很远。这是

8、一种误解。事实上，近10年来，分形已经在许多领域中得到了非常有效的实际应用。应用范围之广、效益之明显远远超过了十几年前的任何预测。　　分形技术在数据压缩中的应用就是一个非常典型的例子。美国数学