正多边形与圆及圆中计算问题

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1、北 京 四 中        审 稿:谷 丹   责 编:辛文升   录 入:刘红梅正多边形和圆及圆中计算问题  一.内容综述  正多边形的有关计算方法、圆及简单组合图形的周长与面积的计算方法,是本单元的重点。实际上,这部分计算问题的解决大都是放在直角三角形(如下图△OAD)中解决的。掌握这些知识,一方面可以为进一步学习打好基础,另一方面这些知识在生产和生活中常常用到,所以要给予足够的重视。在正多边形的有关计算中,如果分别以αn、an、rn、Rn、Pn和Sn表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积,则有:  ①αn=;

2、  ②an=2Rn·sin;  ③rn=Rn·cos;  ④+;         ⑤Pn=nan;  ⑥Sn=Pnrn;  ⑦Sn=nsin.(因为一个三角形的面积为:h·OB)  注意两点:1、构造直角三角形(弦心距、边长的一半、半径组成的)求线段之间的关系等;       2、准确记忆相关公式。  在圆的有关计算中,如果用R表示圆的半径,n表示弧或弧所对的圆心角的度数,L表示弧长,则有:  ①圆周长:C=2πR。  ②弧长:L=  ③圆面积:S=πR2  ④扇形面积:S扇形==LR  ⑤弓形面积可利用扇形面积与三角形面积的和或差来计算  需根据不

3、同的情况作出不同的处理:    (1)当弓形所含弧为劣弧时,S弓=S扇-S△  (2)当弓形所含弧为优弧时,S弓=S扇+S△  (3)当弓形所含弧为半圆时,S弓=S圆  ⑥圆柱与圆锥的侧面积可以转化为计算侧面展开图的面积  二.例题分析:  例1.正六边形两条对边之间的距离是2,则它的边长是( )  A、   B、   C、   D、  解:如图1,BF=2,过点A作AG⊥BF于G,则FG=1,  又∵∠FAG=60°,  故选B。  说明:正六边形是正多边形中最重要的多边形,要注意正六边形的一些特殊性质。  例2.如图2,两个同心圆被两条半径截得的

4、的长为6πcm,的长为10πcm,若AB=12cm,求图中阴影部分的面积。  解:设∠O=α,由弧长公式得6π=,10π=,  ∴OA=,OB=.  又∵AB=OB-OA,  ∴12=-,  ∴α=60°,  ∴OA==18,OB==30.  ∴阴影部分的面积为:-==96π  说明:本题主要考察弧长、扇形面积的有关计算,要熟记公式,正确运用。  例3.求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半.  分析:外切正多边形可分成与边数相同个数的等腰三角形,其面积之和为正多边形的面积,而每个小三角形的面积恰是边长与圆半径积的一半,故题易证. 

5、 证明:设外切多边形周长为P,内切圆⊙O半径为R,连结O与正多边形的各顶点及切点,如图  ∵OM⊥AB,ON⊥BC,……,  ∴S△OAB=OM·AB=R·AB,  S△OBC=ON·BC=R·BC……,  ∴正多边形ABCD……面积为S=R(AB+BC+……)=R·P.  说明:圆的外切(或内接)正多边形的周长.面积的计算要通过所分成的n个等腰三角形进行,这也是由复杂到简单的一种转化,象四边形的问题一样,正n边形的问题首先应转化为三角形的问题,转化是解决数学问题的关键。  例4.已知如图⊙O1为含120°弧的弓形的直径最大的内切圆,求证:这个内切圆

6、的周长等于弧长的。  分析:欲证内切圆的周长和含此内切圆弓形的弧之间的关系,需求出:内切圆⊙O1的周长2πr,及弓形的弧AB的长,找到r与⊙O的半径R的关系,结论易证。  证明:设⊙O1切弓形于C、D,OA=R,O1C=r,  ∵∠AOB=120°, ∴的长=×=πR,  又∵∠OAB=(180°-120°)=30°, ∴OC=OA=R,  ∴r=(OD-OC)=(R-R)=R,  又⊙O1的周长=2πr=2π·R=πR,  ∴⊙O1的周长等于弧长的.  例5.已知如图半径OA=6cm,C为OB的中点,∠AOB=120°,求阴影部分面积S阴影ABC.

7、  分析:欲求S阴影ABC,从图形上看是不规则图形,所以问题的关键是将不规则的图形转化为规则图形面积的和或差,观察图形会发现S阴影=S扇形OAB-S△ACO,故可求得.  解:由图示可知S阴影ABC=S扇形-S△ACO,  而S扇形OAB==12π(cm2),  ∴S△ACO=×6×3·sin60°=(cm2),  ∴S阴影ABC=(12π-)cm2.  说明:求阴影部分的面积,最关键的就是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差,以上为例,S阴影可以折分为S扇形OAB与SDAOC的差,也可以折分为SDABC与S弓形AB的和,但因为这两个面积,

8、求起来较繁锁,所以到底用哪种方法,要有所选择。  例6.如图,若正六边形的面积为6,求正六边形内切圆的内接正

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