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1、北 京 四 中 审 稿：谷 丹 责 编：辛文升 录 入:刘红梅正多边形和圆及圆中计算问题 一．内容综述 正多边形的有关计算方法、圆及简单组合图形的周长与面积的计算方法，是本单元的重点。实际上，这部分计算问题的解决大都是放在直角三角形（如下图△OAD）中解决的。掌握这些知识，一方面可以为进一步学习打好基础，另一方面这些知识在生产和生活中常常用到，所以要给予足够的重视。在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、an、rn、Rn、Pn和Sn表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有： ①αn=；
2、 ②an=2Rn·sin； ③rn=Rn·cos； ④+； ⑤Pn=nan； ⑥Sn=Pnrn； ⑦Sn=nsin.（因为一个三角形的面积为：h·OB） 注意两点：1、构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等； 2、准确记忆相关公式。 在圆的有关计算中，如果用R表示圆的半径，n表示弧或弧所对的圆心角的度数，L表示弧长，则有： ①圆周长：C=2πR。 ②弧长：L= ③圆面积：S=πR2 ④扇形面积：S扇形==LR ⑤弓形面积可利用扇形面积与三角形面积的和或差来计算 需根据不
3、同的情况作出不同的处理： （1）当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S△ （2）当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S△ （3）当弓形所含弧为半圆时，S弓=S圆 ⑥圆柱与圆锥的侧面积可以转化为计算侧面展开图的面积 二．例题分析： 例1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ） A、 B、 C、 D、 解：如图1，BF=2，过点A作AG⊥BF于G，则FG=1， 又∵∠FAG=60°， 故选B。 说明：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。 例2.如图2，两个同心圆被两条半径截得的
4、的长为6πcm,的长为10πcm，若AB=12cm,求图中阴影部分的面积。 解：设∠O=α，由弧长公式得6π=,10π=, ∴OA=,OB=. 又∵AB=OB-OA, ∴12=-, ∴α=60°, ∴OA==18,OB==30. ∴阴影部分的面积为：-==96π 说明：本题主要考察弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。 例3.求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半. 分析:外切正多边形可分成与边数相同个数的等腰三角形,其面积之和为正多边形的面积,而每个小三角形的面积恰是边长与圆半径积的一半,故题易证.
5、 证明:设外切多边形周长为P,内切圆⊙O半径为R,连结O与正多边形的各顶点及切点,如图 ∵OM⊥AB,ON⊥BC,……, ∴S△OAB=OM·AB＝R·AB, S△OBC=ON·BC＝R·BC……, ∴正多边形ABCD……面积为S=R(AB+BC+……)=R·P. 说明：圆的外切（或内接）正多边形的周长.面积的计算要通过所分成的n个等腰三角形进行，这也是由复杂到简单的一种转化，象四边形的问题一样，正n边形的问题首先应转化为三角形的问题，转化是解决数学问题的关键。 例4.已知如图⊙O1为含120°弧的弓形的直径最大的内切圆，求证：这个内切圆
6、的周长等于弧长的。 分析：欲证内切圆的周长和含此内切圆弓形的弧之间的关系，需求出：内切圆⊙O1的周长2πr，及弓形的弧AB的长，找到r与⊙O的半径R的关系，结论易证。 证明：设⊙O1切弓形于C、D，OA=R，O1C=r， ∵∠AOB=120°， ∴的长=×=πR， 又∵∠OAB=(180°-120°)=30°， ∴OC=OA=R, ∴r=(OD-OC)=(R-R)=R, 又⊙O1的周长=2πr=2π·R=πR, ∴⊙O1的周长等于弧长的. 例5.已知如图半径OA=6cm,C为OB的中点,∠AOB=120°,求阴影部分面积S阴影ABC.
7、 分析:欲求S阴影ABC,从图形上看是不规则图形,所以问题的关键是将不规则的图形转化为规则图形面积的和或差，观察图形会发现S阴影=S扇形OAB-S△ACO,故可求得. 解:由图示可知S阴影ABC=S扇形-S△ACO, 而S扇形OAB==12π(cm2), ∴S△ACO=×6×3·sin60°=(cm2), ∴S阴影ABC=(12π-)cm2. 说明：求阴影部分的面积，最关键的就是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差，以上为例，S阴影可以折分为S扇形OAB与SDAOC的差，也可以折分为SDABC与S弓形AB的和，但因为这两个面积，
8、求起来较繁锁，所以到底用哪种方法，要有所选择。 例6.如图,若正六边形的面积为6,求正六边形内切圆的内接正
