中国数学奥林匹克赛前培训练习3

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1、中国数学奥林匹克赛前培训练习3一.个实数满足方程组试计算的值.解：构作次多项式：…据条件，当分别取时，皆有，因此有常数，使……，于、中，分别取，得，因此……，于是……，再于中令，得.二.如图，四边形中，，自对角线的交点，作于，线段交于，交于，是线段上的任意一点.证明：点到线段的距离等于到线段、的距离之和.证：易知，四边形共圆，共圆，因此，.即平分；又由共圆，得，即平分.设于，于，于，过点作，交于，交于；过点作，交于，交于；再作于于，则由平行线及角平分线的性质得，.为证，只要证.由平行线的比例性质得，，因此，由于与的对应边平行，且平分，

2、故是的平分线.从而，即所证结论成立.三.设A是一个由m个正整数组成的集合。证明：存在一个由正整数组成的集合B，使得B的任意两个子集的元素和不等，，并且对任意，从B中都可取出若干个不同的数，使它们的和恰好等于a。证明：设A中所有元素之和为n，对n归纳予以证明，当时，A只能为，此时取即可，现设命题对都成立，考虑n的情形。（1）若A中元素都是偶数，则将A中每个数都除以，得到的数组成集合则的所有元素之和为，那么存在与对应，设则B与A对应。（2）若A中有奇数，设其中最小的奇数为a，将A中所有偶数都除以，将中所有奇数都减去a再除以2，得到的数组成

3、集合。对用归纳假设，可找到一个对而言符合要求要求的，我们取，则B即为与A对应的集合，且则对n命题也成立。则原命题得证。四.设，满足abc=1，证明：证明：看到及这样的式子，可得到∴只需证明设则上式等价于上式成立。