中国数学奥林匹克赛前培训练习3

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1、中国数学奥林匹克赛前培训练习3一.个实数满足方程组试计算的值.解:构作次多项式:…据条件,当分别取时,皆有,因此有常数,使……,于、中,分别取,得,因此……,于是……,再于中令,得.二.如图,四边形中,,自对角线的交点,作于,线段交于,交于,是线段上的任意一点.证明:点到线段的距离等于到线段、的距离之和.证:易知,四边形共圆,共圆,因此,.即平分;又由共圆,得,即平分.设于,于,于,过点作,交于,交于;过点作,交于,交于;再作于于,则由平行线及角平分线的性质得,.为证,只要证.由平行线的比例性质得,,因此,由于与的对应边平行,且平分,

2、故是的平分线.从而,即所证结论成立.三.设A是一个由m个正整数组成的集合。证明:存在一个由正整数组成的集合B,使得B的任意两个子集的元素和不等,,并且对任意,从B中都可取出若干个不同的数,使它们的和恰好等于a。证明:设A中所有元素之和为n,对n归纳予以证明,当时,A只能为,此时取即可,现设命题对都成立,考虑n的情形。(1)若A中元素都是偶数,则将A中每个数都除以,得到的数组成集合则的所有元素之和为,那么存在与对应,设则B与A对应。(2)若A中有奇数,设其中最小的奇数为a,将A中所有偶数都除以,将中所有奇数都减去a再除以2,得到的数组成

3、集合。对用归纳假设,可找到一个对而言符合要求要求的,我们取,则B即为与A对应的集合,且则对n命题也成立。则原命题得证。四.设,满足abc=1,证明:证明:看到及这样的式子,可得到∴只需证明设则上式等价于上式成立。

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