中国数学奥林匹克赛前培训练习1

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1、中国数学奥林匹克赛前培训练习11.求出所有的整数x，使得多项式f(x)=x6+15x5+85x4+225x3+274x2+120x+1的值是完全平方数。2.设三角形ABC的外接园为，M为三角形内一点，且在角A的平分线上，设AM,BM,CM与交于,P为与AB的交点，Q为与AC的交点。证明：PQ平行于BC.3.某羽毛球俱乐部的2n名成员为n对夫妻。俱乐部准备为所有成员安排一轮回避配偶的混合双打比赛。规定配偶夫妻在赛程中既不作为搭档，也不作为对立面出现。要求：(i)同性别的每两名成员恰作为对立面在一场混双比赛中相遇；4.设数轴的[0，1]区间里有六个质点，依照从0到1的次序将这六

2、个质点标记为初始时，质点的位置都在区间内部；相邻质点与的距离分别是；并且各质点都以相同的不变速度沿数轴朝指向0点的方向运动，在以后的运动中，如果某个质点碰到区间端0或1，那么该质点立即折返，以同样大小的不变速度值反向运动，如果某两个质点相向运动发生对撞，那么这两个质点立即各自折返，都以同样大小的不变速度值反向运动。约定以表示第个质点与第个质点第次对撞的位置坐标，试求所有可能的。5、求所有自然数n>1,使得不整除(n-2)!参考答案1.求出所有的整数x，使得多项式f(x)=x6+15x5+85x4+225x3+274x2+120x+1的值是完全平方数。解：f(x)=x(x+1

3、)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1，则x=0,－1,－2,－3,－4,－5时，f(x)=1为完全平方数，f(2)=f(－7)=712，也为完全平方数，进一步验证，x=1,3,4,5,6时，f(x)不是完全平方数。下面证明：只有上述8个数使得f(x)为完全平方数。∵f(－x)=f(x－5)，∴只需考虑x>0的情况：当x≥7时，2x+5≥19，令u=2x+5，则u≥19为奇数。64f(x)=u6－35u2+259u2－161，令v=8f，则考虑不定方程v2=u6－35u4+259u2－161。u≥19为奇数。令v=u3－u+－a，aÎZ，则v2=(u3－u+－a)2

4、=u6－35u4+259u2－161，整理得h(a)=a2+(35u－2u3－1)a+(u3+－+161+)=0，∵h(0)<0，h(2)>0，求h(a)=0的整数根，∴h(1)=0，即4u3=189u2+70u+645…(*)若u≤47，则4u3≤188u2≤189u2；若u≥48，则4u3≥189u2+70u+74u>189u2+70u+645，这表明(*)不成立，因此本题没有u≥19的奇数解。故x=－7,－5,－4,－3,－2,－1,0,2时，f(x)为完全平方数。3.某羽毛球俱乐部的2n名成员为n对夫妻。俱乐部准备为所有成员安排一轮回避配偶的混合双打比赛。规定配偶夫

5、妻在赛程中既不作为搭档，也不作为对立面出现。要求：(i)同性别的每两名成员恰作为对立面在一场混双比赛中相遇；解：给俱乐部的成员按家庭用0,1,…,n－1编号。第i个家庭成员记为hi和wi，其中hi是丈夫、wi是妻子。将n×n方格表的行用0,1,…,n－1编号，列也用0,1,…,n－1编号。仿照第1题解答中的办法填写n×n方格表，按照所填方格表安排赛程，规定：如果i

6、l≠i,j。因而配偶回避，既不作为搭档，也不作为对立面。任何两个非配偶的不同性别成员，恰作为搭档一次，也作为对立面一次。(因为每行是0,1,…,n－1的一个排列，每列也是)任两同性别成员恰作为对立面一次。对于不同的i,j，由aij和aji安排的混双比赛恰让hi和hj作为对立面一次。不同的k和l恰作为(aij,aji)(i

7、个质点碰到区间端0或1，那么该质点立即折返，以同样大小的不变速度值反向运动，如果某两个质点相向运动发生对撞，那么这两个质点立即各自折返，都以同样大小的不变速度值反向运动。约定以表示第个质点与第个质点第次对撞的位置坐标，试求所有可能的。