中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题

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1、中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题F学校姓名营员证号一．设，求证：二．在中，分别以为边，向外作两个三角形：和使得设与交于点，与交于点，求证：的充要条件是：三．对任意两个正整数与，有唯一的正整数与之对应，且函数具有性质：对任意正整数与，；对任意正整数，；对任意正整数与，当时，求证：恰有一个函数满足上述三个性质，并求出这个函数.四.设为任意无穷正实数数列，求证：不等式对无穷多个正整数成立.中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题F解答学校姓名营员证号一．设，求证：证：因为同理所以二．在中，分别以为边，向

2、外作两个三角形：和使得设与交于点，与交于点，求证：的充要条件是：证：①由题设条件知∽，故即AD·AC且从而①等价于②记由于∽，所以从而②等价于因为，所以，从而即三．对任意两个正整数与，有唯一的正整数与之对应，且函数具有性质：对任意正整数与，；对任意正整数，；对任意正整数与，当时，求证：恰有一个函数满足上述三个性质，并求出这个函数.解：取为的最小公倍数显然=满足性质（1），（2）。下证它也满足（3）若设则a与b互质，故，由知故从而即函数=也满足（3）下证唯一性。用反证法：若有两个函数同时满足命题给出的三个性质，则存

3、在正整数，使得，设其中s,t是使，且取最小值的一对正整数，由性质（2），,故。由性质（1）不妨设由性质（3）故.但与之最小性选择矛盾。四.设为任意无穷正实数数列，求证：不等式对无穷多个正整数成立.证：用反证法.假设不等式只对有限多个正整数成立。设这些正整数中最大的一个为，则对任意的正整数，上述不等式均不成立，既有也既①由贝努利不等式，有（正整数）②结合①，②可得,③下面用数学归纳法证明：其中n是非负整数④当时,④式左边为，右边也为,故④式成立.设当时，④式成立，既有⑤在③中取，并利用⑤，可得故④式在时也成立。故④

4、式得证。由于，所以即固而存在正整数，满足⑥在④式中取，得⑦结合⑥，⑦知，这与矛盾，故命题得证。