数学物理方法第15章

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1、第15章一、分离变量已知任何二阶线性偏微分方程总可以通过自变量变换变成下列标准形式（1）假设方程的解的形式为（2）其中，X和Y分别是单个变量x和y的二次可微函数将（2）代入方程（1）中得进行变量分离，得到两个常微分方程及常见的可分离变量的齐次边界条件为,,表示边界点，通常是0和或其他值。二、直角坐标系中的分离变量法（1）齐次方程的定解问题例题15.2.1两端固定的弦的自由振动的定解问题为（00）,,,解用分离变量法求解，具体可分为如下四个步骤：（i）将变量分离形式的试探解代入齐次泛定方程和齐次边

2、界条件，导出所满足的常微分方程的边值问题。将代入泛定方程，得分离成两个常微分方程和将代入边界条件，得，因为，故得,为了确定需要解下列常微分方程的边值问题（ii）解本征值问题，求出本征值及本征函数。以上所列微分方程的通解为代入齐次边界条件，因为，所以=0，又，则若要，则，得本征值（n=1,2,3……）本征函数（n=1,2,3……）由于是典型的斯特姆-刘维本征值问题，所以本征函数系在区间上构成完备正交系，且（iii）设想的解，和按本征函数系展开成傅里叶级数其中（n=1,2,3……）以及（n=1,2,3……）（i

3、v）将形式解代入泛定方程及定解条件，得到时间部分满足的常微分方程及初始条件（其中）解上述初值问题，得（n=1,2,3……）最后的定解问题的解其中定理15.2.1如果在区间中有连续的二阶导数，也有连续的二阶导数，并且它们满足齐次边界条件，则定解问题的解是存在的，它可用级数给出，其中系数由初始条件确定。例题15.2.2求解热传导的定解问题（00），（t>0）（0

4、（其中是方程的根）及本征函数（n=0,1,2,3……）由于是典型的斯特姆-刘维本征值问题，所以本征函数系在区间上构成完备正交系，且（n=0,1,2,3……）因此任何二次可微函数均可按本征函数系展开成傅里叶级数，得其中系数（n=0,1,2,3……）将及代入定解问题，得到时间部分满足的常微分方程及初始条件,最后得定解问题的解例15.2.3设两端固定的轻弦，在初始时刻、在弦的x=c点处，轻轻拨开位移h高度，然后让其自由振动，试求其解的形式。解：上述问题等价于解下述定解问题：（00）其中，T是弦处于平

5、衡位置时弦中的张力，是弦的线密度。（n=0,1,2,3,…）所以上述定解问题的解为例题12.5.5求上端固定，下端自由的弹簧，在自重作用下的纵向振动解上述问题等价于解下述问题：（00）,,其中，，k是弹簧常数，是弹簧长度，m是弹簧质量，令找出特解，它既满足非齐次泛定方程，又满足边界条件，其形式为而另一解，应为下列定解问题的解（00）上述定解问题的解为因此，本题的解为于是，端的位移为当时，达到最大值所以弹簧端点在到之间上下振动。补充例题（00）解：令令，，，解得解关于的定解

6、问题所以，