高二数学竞赛班二试讲义

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1、高二数学竞赛班二试讲义第9讲进位制班级姓名一、知识要点：1．进位制进制数，一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示成为一串数字连写在一起的形式，，…，，．二、例题精析例1．（1）记集合，，将中的元素按从大到小的顺序排列，则第2008个数是（）A．B．C．D．（2）设是递增的正整数数列：，它们或者是的幂，或者是的不同的幂之和，则。例2．设是的十进制表示的各位数字之积，求成立的正整数。8例3．（1990.第32届IMO备选题）证明：对任意自然数，二项式系数中，奇数的个数是的幂。例4．（99年LS）(满分50分)给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称

2、出质量为1，2，3，…，n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。8三、精选习题1．设有集合，把中各数按照从大到小的顺序排列，求第个数。2．正整数的进制表示是，求最小的正整数，使得是某一个整数的四次方。83．（2012东南赛）如果非负整数及其各位数字之和均为6的倍数，则称为“六合数”．求小于2012的非负整数中“六合数”的个数．（陶平生提供）4．（东南赛）对于正整数，令．求证：数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数．([x]表示不超过x的最大整数)(冯祖鸣供题)8高二数学竞赛班二试讲义第9讲进位制例1

3、．（1）B提示：中最大的元素是，按从大到小的顺序排列，第2008个数是（2）提示：，，而，与对应所以，例2．易知不是一位数设，则，故有，于是，得，这时通过验证仅有满足要求。例3．将用二进制表示，有，于是因为当时，，中2的因数个数为所以为偶数所以，因此右边多项式恰含个项，它们的系数为1（奇数)。即的展开式中恰有项系数为奇数。故结论成立。例4．（1）解：设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,…,ak，且1≤a1≤a2≤…≤ak，ai∈Z，1≤i≤k．因为天平两端都可以放砝码，故可称质量为xiai，xi∈｛－1，0，1｝．若利用这k块砝码可以称出质量为1，2，3，…,n的物品，则上述表示式

4、中含有1，2，…，n，由对称性易知也含有0，－1，－2，…，－n，即{xiai

5、xi∈{－1，0，1}}⊇{0,±1，…，±n}．　　所以，2n+1=

6、｛0，±1，…，±n｝

7、≤

8、｛xiai

9、xi∈｛－1，0，1｝｝

10、≤3k，即n≤．　　设

11、·3i－1，其中xi∈｛－1，0，1｝．　　由于n≤，因此，对一切－n≤l≤n的整数l，也有上述表示．　　综上，可知k的最小值f(n)=m．(

12、i－1+1·(3m－1)．　　所以，当n≠时，f(n)块砝码的组成方式不惟一．　　Ⅱ.下面我们证明：当n=时，f(n)=m块砝码的组成方式是惟一的，即ai=3i－1(1≤i≤m)．　　若对每个－≤l≤,都有l=xiai，xi∈{－1，0，1}．　　即{xiai

13、xi∈{－1，0，1}}⊇{0,±1，…，±}．　　注意左边集合中至多有3m个元素．故必有{xiai

14、xi∈{－1，0，1}}={0,±1，…，±}．　　从而，对每个l，－≤l≤,都可以惟一地表示为　　　　　　　　l=xiai，其中xi∈{－1，0，1}．8　　因而，ai=．则(xi+1)ai=xiai+ai=xiai+．　　

15、令yi=xi+1,则yi∈｛0，1，2｝．　　由上可知，对每个0≤l≤3m－1，都可以惟一地表示为l=yiai，其中yi∈{0，1，2}．　　特别地，易知1≤a1