矩阵知识点归纳

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1、矩阵知识点归纳(一)二阶矩阵与变换1．线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy中，由(其中a，b，c，d是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数a，b，c，d排成的正方形数表称为二阶矩阵，其中a，b，c，d称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A，B，C，…或(aij)表示(其中i，j分别为元素aij所在的行和列)．2．矩阵的乘法行矩阵[a11a12]与列矩阵的乘法规则为[a11a12]＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为＝.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．3．几种常见的线性变换(

2、1)恒等变换矩阵M＝；(2)旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；(3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；(4)伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，k1，k2均为非零常数；(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M＝；(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x轴平移

3、ky

4、个单位，则对应矩阵M＝，若沿y轴平移

5、kx

6、个单位，

7、则对应矩阵M＝.(其中k为非零常数)．4．线性变换的基本性质设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α＋β＝.(1)设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M(λα)＝λMα，②M(α＋β)＝Mα＋Mβ.(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量1．矩阵的逆矩阵(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换．(2)设

8、A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．第4页共4页(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．A的逆矩阵记为A－1．(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.(5)已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.(6)对于二阶可逆矩阵A＝(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝.2．二阶行列式与方程组的解对于关于x，y的二元一次

9、方程组我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝＝ad－bc.若将方程组中行列式记为D，记为Dx，记为Dy，则当D≠0时，方程组的解为3．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征多项式设λ是二阶矩阵A＝的一个特征值，它的一个特征向量为α＝，则A＝λ，即也即(*)定义：设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝

10、＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式．(3)矩阵的特征值与特征向量的求法如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即f(λ)＝0，此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解，于是非零向量即为A的属于λ的一个特征向量．所有变换矩阵单位矩阵：，点的变换为伸压变换矩阵：：，将原来图形横坐标扩大为原来倍，纵坐标不变，将原来图形横坐标缩小为原来倍，纵坐标不变点的变换为第4页共4页：，将原来图形纵坐标扩大为原来倍，横坐标不变，将原来图形纵坐标缩小为原来倍，横坐标不变点的变

11、换为反射变换：：点的变换为变换前后关于轴对称：点的变换为变换前后关于轴对称：点的变换为变换前后关于原点对称：点的变换为变换前后关于直线对称旋转变换：：逆时针：；顺时针：旋转变化矩阵还可以设为：投影变换：：将坐标平面上的点垂直投影到轴上点的变换为：将坐标平面上的点垂直投影到轴上点的变换为：将坐标平面上的点垂直于轴方向投影到上第4页共4页点的变换为：将坐标平面上的点平行于轴方向投影到上点的变换为：将坐标平面上的点垂直于方向投影到上点的变换为切变变换：：把平面上的点沿轴方向平移个单位点的变换为：把平面上的点沿轴方向平移

12、个单位点的变换为第4页共4页