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1、极限与连续性实验一、实验目的观察数列和函数的变化的图形，深入理解极限的概念，掌握用Mathematica计算极限的方法.理解函数连续性的概念，观察函数的各类间断点的情况.了解闭区间上连续函数的性质，掌握使用两分法求函数零点的原理和程序.二、实验内容与Mathematica命令1.数列与数列极限(1)数列与数列变化Mathematica巾定义数列a[n]，自变量n取自然数值，可以使川Table函数输出数列的各个项.例1输出数列七=(-1广1的前十项.2n+l解输入如下命令并执行后得到a[n_]:=(-1)A
2、(n-1)(nA2+n)/(2An+l)b=Table[a[n],{n,1,10}]2*6420104256721022——————房3’5'3'17'11'65'129'257'57'205为了观察数列的变化，使用绘制散点图的命令ListPlot[list,options]其巾，list为数列的各项组成的表，绘制出点列(n,a[n])组成的散点图.输出上例中a[n]的散点图，输入ListPlot[b,PlotStyle->{Blue,PointSize[0.015]}]其屮，选项PlotStyle屮，选
3、择点的颜色为蓝色，点的大小(PointSize)设为0.015(这个数值越大，点越大).执行后得到图1(注：为了便于观察数列的变化情况，此处的表13屮包含数列的前20项).10.5TO1520-0.5如加入选项“PlotJoined->True”，表示用折线将散点连接起来:ListPlot[b,PlotStyle->Blue,PlotJoined->True];执行后输出图2.根据图可以看到随着n逐渐增大，a[n]的值越来越接近于0.(2)数列极限求数列a[n]的极限的命令是Limit[a[n],n->I
4、nfinity]“n->工nfinity’’B
5、Jn—>+°o例如，求例1屮给定的数列的极限，输入下列命令并执行后得到该数列的极限为0.Limit[a[n],n->Infinity]0例2求数列lim++…ixtr?解计算本例所示的数列的极限，耑要使用求和函数Sum[],输入下列命令并执行后得到_11_V2a[n_]:=Sum[k八2/nA3,{k,1,n}](*EPa[n]=^—*)k=lnLimit[a[n],n->Infinity]13Mathematica是一个计算效率极高的数学软件，它的许多函数
6、或命令不仅能作用于一个表达式上，而且可以作用于一个以表达式为元素的表，例如，如果要求出多个数列的极限，可以定义一个以这些数列的表达式为元素的表，再对此表执行求极限的命令，就可以一次批量地求出许多数列的极限.例3求下列极限：(1)lim2n+[n+1(‘-2)2(2)lim(3)lim1+n—>ooi(4)lim—sinw—fj解输入sets={(2n+Sqrt[n]+1)/(Sqrt[n]-2)A2,(n/(n+l))An,(1+l/n)A(3n-1),(1/n)Sin[nPi/2]};Limit[se
7、ts,n->Infinity]执行后得到表sets中定义的四个数列的极限.1.函数极限计算函数极限的命令也是Limit[f[x],x->xO]其中，“x->xO”表示自变量的变化过程，xO可以是一个数值，也可以是“Infinity”(BP00)，或者是“-Infinity”(即-«>).例4计算极限limarctanx,limarccosf丄+丄).x、2x)解输入Limit[Sin[x]/x,x->0]Limit[ArcTan[x],x->-Infinity]Limit[ArcCos[1/2+1/x],
8、x->Infinity]执行后输山它们的极限顺次是1、要计算左右极限，只需补充变量变化的方向，即添加“Direction->1(或-1)”，分别表示左右极限.例5计算lim凶，lim—,输入义―>0一I文―^0十{Limit[Abs[x]/x,x->0,Direction->1],Limit[Abs[x]/x,x->0,Direction->-1]}{-1,1}又如执行下而的命令，分别得到oo和-CO.Limit[Tan[x],x->Pi/2,Direction->1]Limit[Tan[x],x->Pi
9、/2,Direction->-l]如果儿个函数的变化过程相同，也可以同时求出它们的极限.例6求下列函数的极限U)(2)(3)加邮+⑽•-^°vx+1-1moxsinxtan(3x)解输入并执行后得到它们的极限伉.group={ArcSin[2x]/(Sqrt[x+1]-1),(1-Cos[2x])/(xSin[x]),Log[1+Sin[x]]/Tan[3x]};Limit[group,x->0]1.函数的连续性我们知道如果l
