小专题(五)　利用三角形全等证明的几种常见的结论

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1、小专题(五)　利用三角形全等证明的几种常见的结论类型1　证角相等1．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC，求证：∠1＝∠2.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SAS)．∴∠1＝∠2.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：∠1＝∠2.证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD.在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE(SAS)．∴∠1＝∠2.类型2　证明线段之间的位置关系(1)证线段的平行3．如图，AC和

2、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，求证：AB∥CD.证明：在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD.∴∠A＝∠C.∴AB∥CD.(2)证线段的垂直4．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD.求证：BE⊥AC.证明：∵AD为△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△BDF和Rt△ADC中，∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)．∴∠1＝∠2.∵∠1＋∠BFD＝90°，∠BFD＝∠AFE，∴∠2＋∠AFE＝90°.∴∠BEA＝90°.∴BE⊥AC.类型3　线段之间的数量关系(1)证线段相等5．已知：如图，D是△AB

3、C的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB.求证：AE＝CE.证明：∵FC∥AB，∴∠ADE＝∠CFE.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE(ASA)．∴AE＝CE.6．如图，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点，求证：AE＝CE.证明：在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD(SSS)．∴∠ADE＝∠CDE.在△ADE和△CDE中，∴△ADE≌△CDE(SAS)．∴AE＝CE.(2)证线段的和差关系7．如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延长线于点F.求证：(1)△ABE≌△AFE；(2

4、)AD＋BC＝AB.证明：(1)∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，∴∠BAE＝∠FAE，∠ABE＝∠CBE.∵AD∥BC，∴∠F＝∠CBE.∴∠ABE＝∠F.∴AB＝AF.在△ABE和△AFE中，∴△ABE≌△AFE.(2)∵△ABE≌△AFE，∴BE＝FE，AB＝AF.在△BCE和△FDE中，∴△BCE≌△FDE.∴BC＝FD.∴BC＋AD＝DF＋AD＝AF＝AB.8．如图，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BD＋DF.证明：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B＋∠ADC＝1

5、80°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.∴∠EAF＝∠GAF.在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF(SAS)．∴EF＝FG.∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF.∴EF＝BE＋DF.(3)证线段的倍分关系9．已知：如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE，求证：BE＝AD.解：延长AC、BE交于点F，∵∠ACB＝90°，BE⊥AE

6、，∴∠CAD＋∠CDA＝90°，∠EDB＋∠EBD＝90°.∵∠CDA＝∠EDB，∴∠CAD＝∠EBD，即∠CAD＝∠CBF.在△ADC和△BFC中，∴△ADC≌△BFC.∴AD＝BF.在△AEF和△AEB中，∴△AEF≌△AEB.∴BE＝EF，即BE＝BF.∴BE＝AD.