河北工业大学数值分析实验四

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1、实验四改进欧拉法，幂法求矩阵主特征值及其对应的特征向量实验内容：用改进欧拉法求常微分方程的初值问题，并与精确解进行对比；编程实现幂法算法，求矩阵的主特征值及其对应的特征向量。一、改进欧拉法i目的与要求1)熟悉求解常微分方程初值问题的有关方法和理论，主要是改进欧拉方法。2)会编制上述方法的计算程序。3)针对实题编制程序，并上机计算其所需要的结果。4)通过对各种求解方法的计算实习，体会各种解法的功能、优缺点及适用场合，会选取适当的求解方法4算法概要：解一阶常微分方程初值问题Jy"=f(x,y)a

2、等分，取步长h=——n欧拉公式为yi+1uhn、，)、)梯形公式为yi+.=yi+

3、rf(xi,yi)+f(xi+I,yi+1)i改进欧拉法采用公式yi+i=Yi+hf(xi,yi)•h_yi+i=yi+-lf(xi,yi)+f(xi+I,yi+1)J或者y„=yi+hf(xi,yi)

4、1.01)#includevoidniain(void){intn，k;floata，b，h，x;floatyp=0.0,yn=0.0,yc=0.0;printf(’’shurua，b:");scanf(,，o/of,o/of&a,&b);h=(b-a)/10;for(k=l;k<=10;k++){x=a+k*h;yp=yn+h*(x*x+yn*yn);yc=yn+h*(x*x+yn*yn);yn=(yp+yc)/2;printf(••%f，％f”，x，yn);•C:USERSHPvceqweqweqweqvs

5、huru0.1000亂0.0010000.200000.0.0050000-300000f0-0140030.4000亂0.0300220.500000,0.0551120.600000,0.0914160.700000.0.1412520.800000,0.2072470.900000,0.2925421.000000f0-401100Pressanykeytocontinue2)#include

6、tf(”shurua，b:”)；scanf(u%f,%f&a,&b);h=(b-a)/10;for(k=1;k<=10;k++){x=a+k*h;yp=yn+h*(1/(1+yn*yn));yc=yn+h*(1/(1+yn*yn));yn=(yp+yc)/2;printf("%f,%l",x,yn);}"C:USERSHPvceqweqweqweqwnsbtiFu0.100000#0.1000000.200000,0.1990100.300000.0.2952000.400000,0.3871850.500000，0.47414

7、80.600000,0.5557930.700000.0.6321920.800000，0.7036380.900000,0.7705231.000000,0.833270Pressanykeytocontinue二、矩阵的特征值与特征向量的计算4-目的与要求1)领会求矩阵特征值及特征向量的幂法的理论及方法；2)会编制幂法的计算程序来计算有关问题.4算法概要幂法是求矩阵主特征值的一种跌代方法.设有nAeRnxn个线

8、人

9、〉

10、A2

11、>--->

12、/ln

13、,性无关的特征向景乂1，2，-*，11，而相应的特征值满足则对任意非零初始向最¥()=1；

14、0矣0，按下述公式构道向最序列：Vo=Uo,Ooo其中max(Vk)表示V#规模最大的分量并有limU用幂法计算实对称矩阵的特征值时，可用Rayleigh商作加速.设Uk的Rayleigh商为Rk，则2k+1rk=(AUk，Uk)_(Vk+

15、，Uk)_(Ak+1U0，AKU0(Uk,Uk)(Uk，Uk)(AkU0,AkU0；j=l4+0((冬)2)当k400时，Rk将比max(Vk便快的趋于A,士程序及实例例求矩阵的主特征值及特征向量(主特征值为2+Vi相应的特征向量为(去'

16、，女2-10-12-10—12作业:用幂法求矩阵按模最大的特征值A,及其相应的特征向量x,，使得iRk-RjclO-5"-12r'5-41A=2-4iB二A二-46