2014北京东城高考二模数学文(含解析)

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1、东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学（文科)第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合，集合，则（）．（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点位于（）．（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的值为（）．（A）或（B）或（C）或（D）或（4）设等差数列的前项和为，若，则的值是（）．（A）（B）（C）（D）（5）已知，那

2、么的值是（）．（A）（B）（C）（D）（6）已知函数在上是增函数，，若则的取值范围是（）．（A）（B）16/16（C）（D）（7）已知点，，，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是（）．（A）（B）（C）（D）（8）对任意实数，定义运算“⊙”：设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是（）．（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）函数的定义域是．（10）已知平面向量，，且∥，则．（11）在区间上随机取两个实数，,则事件“”的概率为_________

3、．（12）已知数列的前项和为,且对任意,有，则；．（13）过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是．（14）在棱长为的正方体中，点是正方体棱上一点（不包括棱的端点），，①若，则满足条件的点的个数为________；②若满足的点的个数为，则的取值范围是________．16/16三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值．16/16（16）（本小题共13分）汽车的碳排放量比较大，某地规定，从

4、2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）．经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为．（Ⅰ）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率是多少？（Ⅱ）求表中的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性．16/16（17）（本小题共14分）EADACABAPAA如图，在三棱锥中，，，，平面平面，，分别为，中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）

5、求三棱锥的体积．16/16（18）（本小题共13分）已知，函数，．（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求，的值；（Ⅱ）设，若对任意的，且，都有，求的取值范围．16/16（19）（本小题共13分）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，求△面积的最大值．16/16（20）（本小题共14分）设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若，求证：；（Ⅲ）求证：存在，使得．16/16东城区2013-20

6、14学年度第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B（2）A（3）C（4）C（5）B（6）D（7）A（8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）（11）（12）（13）（14）三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　．所以．（Ⅱ）当时，．所以，当时，即时，函数取得最小值；当时，即时，函数取得最大值．（16）（共13分）解：（Ⅰ）从被检测的辆甲品牌的轻型汽车

7、中任取辆，共有种不同的二氧化碳排放量结果：，，，，，，，，，．16/16设“至少有一辆二氧化碳排放量超过”为事件，则事件包含以下种不同的结果：，，，，，，．所以．即至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率为．（Ⅱ）由题可知，，所以，解得．，因为，所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好．　　　（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为，分别为，中点，EADACABAPAA所以∥，又平面，平面，所以平面．（Ⅱ）连结，因为，又，所以．又，为中点，所以．所以平面，所以．（Ⅲ）因为平面平面，有，所以平面，所以．16/16（18）（共13

8、分）解：（Ⅰ），．，．依题意有，可得，解得，或．　　　（Ⅱ）．　　　不妨设，则等价于，即．　　　设，则对任意的，且，都有，等价于在是增函数．　　　，　　　可得，　　　依题意有，对任意，有．由，可得．（19）（共13分）解:（Ⅰ）依题意有，．可得，．　　　　故椭圆方程为．（Ⅱ）直线的方程为．　　　联立方程组　　　消去并整理得．（*）　　　设，．1