清代数学家李善兰突出贡献

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1、清代数学家李善兰的突出贡献数学091班：王磊指导教师：王社宽（陕西科技大学理学院陕西西安710021）摘要：晚清近代数学在中国的出现、发展，李善兰为之做出了突出的贡献。具体表现为：把传统数学独立研究到新的水平，已经接近达到西方高等数学的程度；翻译介绍西方高等数学及其它自然科学书籍；执教于学校，培养数学人才。 关键字：近代，传统数学，高等数学QingMathematicianLiShanlanOutstandingContributionsAbstract:inlateQingdynastyandthedevelopmento

2、fmodernmathematicsinChina,LiShanlanhasmadeoutstandingcontributions.Manifestationas:independentstudytraditionalmathematicstonewlevelsalreadyclosertoWesternadvancedmathematicsdegree;translationintroducedWesternandotheradvancedmathematicssciencebooks;taughtinschoolscu

3、ltivatingthetalents.Keywords:modern,traditional,highermathematics1引言晚清近代数学在中国的出现、发展，李善兰为之做出了突出的贡献。具体表现为：把传统数学独立研究到新的水平，已经接近达到西方高等数学的程度；翻译介绍西方高等数学及其它自然科学书籍；执教于学校，培养数学人才。李善兰对数学从小就非常喜好。还在9岁孩提之时，一日偶然发现父亲书架放有中国古代数学名著《九章算术》，翻来觉得有趣，竟从此与数学结下不解之缘。及至14岁，他完全凭自学读通明末传入的欧几里得《几何原

4、本》前6卷的汉译本。中西数学，特点、风格不同，前者偏重实用解法和计算技巧，后者重逻辑推理。显然，李善兰走入数学殿堂之初，就同时受到中西数学的双重影响，为后来的发展打下了良好基础。青年时，他曾以州县生员身份赴省城杭州参加乡试，但因八股文章不遂考官之意而未能榜上有名。然他仍矢志不移，于数学兴趣不减。他购读李治《测圆海镜》及戴震《勾股割圆记》。曾拜吴兆圻为老师，学习数学。他在家乡经常独自或携友测山高，观星象，以至于至今故里仍流传关于他新婚之夜尚不忘依阁楼之窗观测星宿的美谈佳话。李善兰的研究表明，即便没有后来西方微积分的传入，中国数

5、学家完全可以通过自己的特殊途径来创立微积分。2主要成就李善兰的主要数学成就为尖锥术、垛积术、素数论三方面。尖锥术是在西方近代数学传入中国之前，李善兰深入钻研，大胆求索所发明、创造的。在这项成就中，体现了解析几何的启蒙思想，推得一些重要的积分公式，创立二次平方根的幂级数展开式，以及各种三角函数、反三角函数、对数函数的幂级数展开式。尖锥术不愧是晚清中国数学界最大的成就。正是这一成就，使李善兰成为中国传统数学最后一个杰出代表。3《方圆阐幽》专论尖锥术。书中，李善兰使用“当知”来论述尖锥术原理。“当知”即命题，有的相当于定理。李善兰

6、共使用10条“当知”。第1条至第3条用以阐释点、线、面、体之间的关系；第4条阐释一数正整数幂用平面积或线段表示均可；第5条阐释尖锥形包括等腰三角形、直角三角形、正四棱锥及阳马等；第6条阐释一数四次幂以上可表示为底为方形之尖锥，但侧面是凹形而非平面；后3条类似积分学的几个公式。他以尖锥术在《弧矢启秘》和《对数探源》二书中，分别证明了正弦、正切、正割的幂级数展开式；论证对数的幂级数展开式，阐释了对数的计算原理。垛积术见于 《垛积比类》书中。主要研究“有高求积术”和“有积求高术”。该书不仅有法，而且有其他书所没有的图与表。有高求积

7、是已知层数来求这一行的各数之和，但需找出这一行的求和公式。有积求高是在已知这一行各数之和条件下求得层数，通过解高次方程来解决。书中除三角垛和三角变垛包含有元代朱世杰落一形和岚峰形两类垛外，又创造了三角自乘垛和乘方垛两类新的垛积，给出求和公式，其中三角自乘垛的中心，是被称为“李善兰恒等式”的组合公式，后在中外均很有名。 该书堪称组合数学产生前，属于该领域的一部有影响的佳作。素数论见于所著《考数根法》。数根即素数，素数概念初始引入中国，是在《数理精蕴》之中，以“数根”名之。考数根法就是判别一个自然数是否为素数的方法。李善兰经过深

8、入研究，得到4种方法，即“屡称求一”法、“天元求一”法、“小数回环”法、“准根分级”法。李善兰还证明了数学家费尔玛（Pierre  de，1601—Fermat1665年）提出的费尔玛小定理，并指出它的逆定理不真。《考数根法》是中国第一部系统性素数理论著作，也是一部高水平著作。3影响李善兰