构造函数法在高等数学中的应用

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1、构造辅助函数在高等数学中的应用摘要：证明等式和不等式是高等数学屮的常见问题，证明方法也多种多样。论文通过儿个例子，从研究题0的条件和结论人手，巧妙构造适当的辅助函数进行解题，既能简化证明，又能培养学生的创新思维能力。构造辅助函数是数学解题的一个很好的工具，辅助函数是使W题转化的桥梁，通过恰当的构造辅助函数可以帮助我们解决很多数学问题，使问题简单化，构造辅助函数的方法足多种多样的，有时需要巧妙的灵活运用，构造辅助函数法还需要进一步探索和总结如何构造辅助函数是高等数学解题中的难点，看似无章可循，但仔细研宂不失基本

2、方法和一般规律文章通过详尽的实例讲明了辅助函数在屮伉问题不等式恒等式函数求极限讨论方程的根及计算积分求函数值中的运用关键词：构造辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；在解题过程中，如果用思维定势來探求解题途径比较W难时，我们不妨换一下思维角度,从问题的结构和特点出发，构造一个与问题相关的辅助蚋数，实现问题的转化，从而使问题得到证明。本文通过对岛等数学屮屮值问题、不等式的证明、恒等式的证明、函数求极限问题、讨论方程的根及计算积分求函数值这儿类问题，应用构造辅助函数进行求解，从不同题型总结归纳了辅助函数的思想和具体

3、的方法一、有关中值定理命题的证明的应用1.1构造辅助函数证明屮值存在性问题设/U），gOO在连续，在（“，办）可导。/（“）=/（/?）=0而Vxe［tz，/?］，其0证明至少存在一点《e（劫）使r（滅）=g’（⑽）分析：由于所证命题含有导数形式，我们人胆猜想它积分后的形式。为此我们分下而儿步走:（一）将结论化为尸（*）§（•¥）=（二）移项并同时除以得：rW（三）求积分，并令之为「.f（，）g⑺-g’（，）/（，）心/GOf⑻：/GO则厂00就是我们要找的辅助函数。证明由于/00,g（x）在［6Z,/?］连

4、续，在Gz，/?）可导且/（旬=/⑹=0则F（X）在［6Z,/?］满足罗尔中值定理，存在h,使得厂’（6=0即’⑹g⑷’⑷=0也即⑹说)=¥(改•⑷即为所证二、在证明不等式中的应用1.2构造辅助函数证明不等式1.2.1构造辅助函数用单调性证明不等式构造辅助函数的方法灵活多变，不同的知识段有着不同的技巧和方法，用函数单调性证明不等式常用的方法有：(1)用不等式两边“求差”构造辅助函数.(2)用不等式两边适当“求商”构造辅助函数.(3)根据不等式两边结构，构造“形似”辅助函数.(4)如果不等式屮涉及到幂指函数形式

5、，则可通过取对数将其化为易于证明的形式，再根裾具体情况由以上所列方法构造辅助函数没xe(0,1),证明(1+；v)ln2(1+x)<%2分析：利用“求差”构造辅助函数尸(x)=(l+x)ln2(l+x)—再根据尸⑺在区间(0，1)的单调性证明之。证明令F(x)=(1+x)In2(1+x)-x2,WJF'(x)=ln2(l+x)4-21n(l+x)-2x2FH(x)=——[ln(l+x)-x]1+xg(x)=ln(l+x)—又，则g'(x)=1=——<0(xe(0,1))，所以g(x)在义e(0，l)内1+x1

6、+x单调递减，从而及(％)

7、a<-―—(0

8、证明，此时可考虑用最值进行证明。证明：当x