八年级数学竞赛例题专题讲解14：多边形的边与角

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1、录入：王云峰专题14　多边形的边与角阅读与思考主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形．多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常用技巧．例题与求解【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为1

2、9，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：设两个凸多边形分别有，条边，分别引出，条对角线，由此得，方程组．【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么的最大值是（　　）A．5B．6C．7D．8解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于的不等式，通过求解不等式逼近求解．【例3】凸边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求的值．（山东省竞赛试题）解题思路：利用边形内角和公式，以及边数为大于等于3的自然数这一要求，推出该角大小，进而求出的值．【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH的八个内角都相等，边AB，BC，CD，DE，EF，FG的长分为7，4，2，5，

3、6，2，求该八边形的周长．（全国通讯赛试题）解题思路：该八边形每一内角均为135°，每一外角为45°，可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决．【例5】如图所示，小华从M点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M时，行走了多少米？解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了．能力训练A级1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．（重庆市竞赛试题）第1题第2题2．如图，凸四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分别为3，4，12和13，∠ABC＝90°，则四边

4、形ABCD的面积为＿＿＿．3．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．第3题第4题第7题4．如图，ABCD是凸四边形，则的取值范围是＿＿＿．.5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　）A．9条B．8条C．7条D．6条（“祖冲之杯”邀请赛试题）6．—个凸边形的内角和小于1999°，那么的最大值是（　　）（全国初中联赛试题）A．11B．12C．13D．147．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（　　）个角．A．5个B．5个或3个C．5个或3个或4个D．4个8．—个凸边形，除一个内角外，其余个内角的

5、和为2400°，则的值是（　　）A．15B．16C．17D．不能确定9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和DC的长．10．—个凸边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求的值．（“希望杯”邀请赛试题）11．平面上有A，B，C，D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC，△ABD，△ACD，△BDC中至少有—个三角形的内角不超过45°．（江苏省竞赛试题）12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：（1）像上面那样铺地面

6、，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．（安徽省中考试题）B级1．一个正边形恰好被正边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是＝4，＝8的情况），若＝10，则＝＿＿＿＿．第1题第2题第3题2．如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝11，FACD＝3，则BC＋DE＝＿＿＿＿．（北京市竞赛试题）3．如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到五个角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它们的和等于

7、＿＿＿．若延长凸边形（≥5）的各边相交，则得到的个角的和等于＿＿＿＿．（第十二届“希望杯”邀请赛试题）4．如图，在四边形ABCD中，AB＝，BC＝1，CD＝3，∠B＝135°，∠C＝90°，则∠D＝（　　）A．60°B．67.5°C．75°D．不能确定（重庆市竞赛试题）第4题第5题5．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是（　　）A．70°B．110°C．140°D．150