八年级数学竞赛例题双曲线专题讲解

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1、八年级数学竞赛例题双曲线专题讲解专题11双曲线阅读与思考形如的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使用的模型，如通过改变电阻控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中反比例函数的基本性质有：1反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交；2的正负性，决定双曲线大致位置及随x的变化情况；3双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线及反比例函数与一次函数有着内在的联系

2、如在作图时都要经历列表、描点、连线的过程；研究它们的性质时，都是通过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同反比例函数中的几何意义是：等于双曲线上任意一点作x轴、轴的垂线所得的矩形的面积，如图：（1）；（2）求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到求符合某种条的点的坐标，常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性反比例函数是

3、描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识例题与求解【例1】（1）如图，已知双曲线经过矩形AB边AB的中点F且交B于点E，四边形EBF的面积为2，则（兰州市中考试题）（2）如图，△P1A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1，P2在函数的图象上，斜边A1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是（南通市中考试题）解题思路：对于（1），通过连线，把相关图形的面积用表示；对于（2），设，，把A，两点坐标用a，b表示【例2】如

4、图，P是函数图象上一点，直线交x轴于点A，交轴于点B，P⊥x轴于，交AB于E，PN⊥轴于N，交AB于F，则的值为（北京市竞赛试题）解题思路：设，把AF，BE用a，b的式子表示【例3】如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4（1）求的值；（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求△A的面积；（3）过原点的另一条直线l交于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标（福州市中考试题）解题思路：对于（2），有下列不同的解法：图1图2图3对于（3），需

5、要思考的是，四边形APBQ的形状，P点与A点有怎样的位置关系【例4】已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知A点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求A点坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AP为等腰三角形？若存在，把符合条的P点坐标都求出；若不存在，请说明理由解题思路：对于（3），应分类讨论，并注意A点坐标隐含的信息【例】一次函数的图象分别与x轴、轴交于点、N，与反比例函数的图象相交于点A、B，过点A分别作A⊥x

6、轴，AE⊥轴，垂足分别为，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥轴，垂足分别为F，D，A与BD交于点，连接D（1）若点A，B在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：①；②（2）若点A，B分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则AN与B还相等吗？试证明你的结论图1图2（威海市中考试题）解题思路：对于（1），通过连线证明面积相等，进而可证AB∥D，则四边形AND，DB为平行四边形；（2）方法同（1）例的拓展变化：如图，点，N在反比例函数的图象上，过点作E⊥x轴，过点N作NF⊥轴，垂足分别为E、F

7、，则N∥EF【例6】点，与点构成边长是3，4，的直角三角形，如果点在反比例函数的图象上，求可能取的一切值（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：本题是与反比例函数相关的综合题，运用了代数化、勾股定理、消元降次、分类讨论等思想方法能力训练A级1已知是反比例函数，则2若反比例函数的图象位于第二、四象限，则满足条的正整数的值是（沈阳市中考试题）3已知双曲线经过点，如果，两点在该双曲线上，且，那么（威海市中考试题）4已知函数（a为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点

8、，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（荆门市中考试题）6如图，B为双曲线上一点，直线AB平行于轴交直线于点A，若，则（武汉市四月调考试题）（第题）（第6题）7如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点A作A⊥x轴于点，连接B，若，则的值是（）A2BD4（鄂州市中考试题）（第7题）（第8题）8如图，反比例函数的图象与直线的交点为A、B，过A作轴的平行线与过B作x轴的平行线相交于点，则△AB的面积为（）A8B64D2（深圳市中考试题）9函数与