对数学结论推广与实践

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1、论   推   广　　推广是数学研究中极其重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广．数学家总是在已有知识的基础上，向未知的领域扩展，从实际的概念及问题中推广出各种各样的新概念、新问题．　　一个数学命题由条件和结论两个部分组成，正确的数学命题揭示了条件与结论之间的必然联系．一个数学命题的条件改变了，其结论也往往随之发生相应的变化．推广就是扩大命题的条件中有关对象的范围，或扩大结论的范围，即从一个事物的研究过渡到包含这一类事物的研究．在数学命题推广的过程中，所使用的主要方法是归纳和类比．从推广的方向看，有纵向推广和横向推广．学科命题

2、在本学科内深入发展叫做纵向推广；将本学科命题移植或类比引伸到别的学科中去叫做横向推广．具体操作推广时，主要从考察命题的条件、结论或解题方法入手获得启发推广．　　1从低维到高维的推广　　在初等数学中，我们习惯上把直线叫做一维空间，平面叫做二维空间，立体几何中所说的“空间”叫做三维空间．除此之外，“维数”还泛指未知数的个数、变量的个数、方程的次数、不等式的次数、行列式的阶数、数表的阶数等．数学家喜欢将数学问题从低维推广到高维，高维的问题往往比低维的问题要困难、复杂一些，因此将低维问题推广到高维问题也是数学竞赛命题者所喜爱的命题方法之一．1963

3、年第26届莫斯科MO有这样一道试题：若a，b，c为任意正数，求证：．            ⑴而下面的题目是流传甚广的（1988年被移用为第二届友谊杯数学竞赛题）：若a，b，c是三角形的三边，且，则．            ⑵这样一来，通过观察⑴，⑵的结构特点，可归纳出不等式：【题1】（第28届IMO预选题）试证：若a，b，c是三角形的三边，且，则  ．  ⑶运用归纳、类比的方法还可将⑶作进一步推广．观察⑵，其左边是二阶循环的形式，我们联想到，若循环一阶会有怎样的结果？通过推敲得到：                    ⑷其中．又容易联想

4、到：．                         ⑸由⑷，⑸归纳出更一般的不等式：【题2】（1984年全国高中数学联赛试题）设都是正数．求证：．再考虑将⑴从3元（a，b，c）向n元（a1，a2，…，an）推广：若a1，a2，…，an为正数，，则．  ⑹⑹式左边分式都是一次的，我们猜测能否升次，于是有【题3】（第30届IMO预选题）设，ai（i＝1，2，…，n）是正实数，证明：．   关于这个问题的进一步研究，见文【1】。我们知道，平面上给定n个点（n≥3），任三点不共线，则这n个点中一定存在两点A、B，使其余n－2个点都在直线AB外，

5、这太平凡了，不过让我们耐心一点，看能否作一点推广．若将两点A、B扩充为三点A、B、C会有什么结果呢？任三点不共线，则是否存在三点A、B、C构成一个三角形，使得其余n－3个点一定在△ABC之外呢？回答是肯定的．于是有【题4】平面上给定n个点（n≥3），任意三点不共线．求证：在这n个点中存在三个点A，B，C，使其余n－3个点都在△ABC之外．在此基础上，再向空间推广，将△ABC与四面体ABCD作类比，有【题5】空间给定n个点（n≥4），任意三点不共线，任意四点不共面．求证：在这n个点中存在四个点A、B、C、D，使其余n－4个点都在四面体ABCD

6、之外．2从特殊向一般的推广特殊与一般是数学研究中经常遇到的一对矛盾，当解决一个特殊的数学问题之后，人们往往力图把这一结果扩展开来，从不同角度加以推广．从特殊向一般推广的主要类型有：2.1概念型：先找出已知命题中的条件或结论中的某个对象，把它作为类概念，然后扩展到与它邻近的种概念．新加坡1988年有这样一道数学竞赛题（注：叙述略有改动）：一个梯形被两条对角线分成四个三角形．若S1、S2分别表示以梯形上、下底为底边且有公共顶点的两个三角形的面积，则梯形的面积，即．将此题条件中的对象———梯形作为类概念，扩展到与它邻近的种概念———凸四边形，而其

7、他条件不变，会有什么结论呢？经过推演可得：【题6】设凸四边形ABCD的对角线相交于O，△AOB和△OCD的面积分别为S1、S2，四边形ABCD的面积为S，求证：，其中等号成立当且仅当AB∥CD．2.2状态型：把一个仅对某种或几种特殊状态（位置）成立的命题，推广到对一般状态（位置）都成立．两千三百多年前，古希腊的学者欧几里德系统地整理了当时的数学知识，写成了千古流传的名著《几何原本》。《几何原本》共13卷，包含了465条命题。有趣的是，有一条非常基本的重要命题，它没有受到欧几里德时代数学家的注意和重视（之后的两千多年中也没有得到应有的重视）。

8、如果当初欧几里德或别的数学家重视了，几何学的历史有可能被改写，几何难学、几何解题无定法的局面就早已改观了。这是《几何原本》第6卷的命题一：“等高三角形或平行四边形，他们彼此相比如