2005年北京四中数学第三次统测（理科）

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1、北京四中2005年数学第三次统测（理科）　　一、选择题：（每小题5分）　　1.在正实数集上定义一种运算*：当时，a*b=b3：当时，a*b=b2。根据这个定义，满足3*x=27的x的值为（　）　　A．3　　B．1或9　　C．1或　　D．3或　　2.函数的部分图象大致是（　）　　　　　　　　A.　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　D.　　3.在的展开式中，含项的系数是首项为－2公差为3的等差数列的（　）　　A．第13项　　B．第18项　　C．第11项　　D．第20项　　4.若将函数的图象按向量平移，使图象上点P的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后图象的解析式为（　）　

2、　A．　　B．　　C．　　D．　　5.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（　）　　A．　　B．　　C．　　D．　　6.已知函数在点处连续，则的值是（　）　　A．2　　B．3　　C．－2　　D．－4　　7.已知，，点C在坐标轴上，若，则这样的点C的个数为（　）　　　　A．1　　B．2　　C．3　　D．4　　8.设数集，，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（　）　　A．　　B．　　C．　　D．　　二、填空题：（每小题5分）　　9.若（m∈R+）是纯虚数，则的值为_____，的虚部是_____.　　

3、10.在数列中，若且对任意有则数列前项的和为_____，前项和最小时的等于_____.　　11.若，则目标函数的取值范围是_____.　　12.向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且

4、a

5、=2，

6、b

7、=4，则a与b夹角的余弦值等于_____.　　13.已知P是抛物线上的动点，定点A（0，-1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是_____，它的焦点坐标是_________．　　14.若定义在区间D上的函数对于D上的任意n个值，总满足，则称为D上的凸函数.现已知在上是凸函数，则锐角中，的最大值是_________．答　案　　一、选择题：（每小题5分）题号1234

8、5678答案　　　　　　　　　　二、填空题：（每小题5分）9　　10　　11　12　13　　14　　　三、解答题　　15.（本小题满分13分）　　矩形ABCD，AB=4，BC=3，E为DC中点，沿AE将ΔAED折起，使二面角D-AE-B为60°。　　(I)求DE与平面AC所成角的大小；　　(II)求二面角D-EC-B的大小。　　16.（本小题满分13分）　　甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格。　　（1）求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少？

9、　　（2）求乙答对试题数的概率分布及数学期望。　　17.（本小题满分14分）　　设函数在时取得极值.　　（1）试确定的值；　　（2）求的单调区间.　　18.（本小题满分14分）　　已知函数.　　（1）求的值，使点到直线的距离最短为；　　（2）若不等式在恒成立，求的取值范围.　　19.（本小题满分13分）　　直线与曲线交于（异于原点）；过且斜率为的直线与曲线交于（异于）；过且斜率为的直线与曲线交于（异于）,……,过且斜率为的直线与曲线交于（异于）,……。设坐标为,（）.　　（Ⅰ）求和的表达式；　　（Ⅱ）判定是否存在，若存在，求它的值；若不存在，说明理由.　　20.（本小题满分1

10、3分）　　已知为椭圆和双曲线的公共顶点，分别为双曲线和椭圆上不同于的动点，且有，设的斜率分别是.　　（1）求证；　　（2）设分别为双曲线和椭圆的右焦点，若∥，求的值.　　答案　　一、选择题：（每小题5分）题号12345678答案DCDCCBCC　　二、填空题：（每小题5分）9-8104或511[8，14]1213y=6x2-1(x≠0)14　　15．如图1，过点D作DM⊥AE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DM⊥AE，MN⊥AE保持不变，翻折后，如图2，∠DMN为二面角D-AE-B的平面角，∠DMN=60°，AE⊥平面DMN，又因为AE平面AC，则平面AC⊥平面DMN

11、。　　(I)在平面DMN内，作DO⊥MN于O，　　∵平面AC⊥平面DMN，　　∴DO⊥平面AC。　　连结OE，DO⊥OE，∠DEO为DE与平面AC所成的角　　如图1，在直角三角形ADE中，AD=3，DE=2，　　，　　。　　如图2，在直角三角形DOM中，DO=DM·sin60°=,　　在直角三角形DOE中，，则。　　∴DE与平面AC所成的角为。　　(II)如图2，在平面AC内，作OF⊥EC于F，连结DE，　　∵DO⊥平面AC，∴DF⊥EC，∴∠DFO为二面角D-EC-B的平面角。　　如图1，作OF⊥DC