2005年北京四中数学第三次统测（文科）

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1、北京四中2005年数学第三次统测（文科）　　一、选择题：（每小题5分）　　1.在正实数集上定义一种运算*：当时，a*b=b3；当时，a*b=b2。根据这个定义，满足3*x=27的x的值为（　）　　A．3　　B．1或9　　C．1或　　D．3或　　2.函数的部分图象大致是（　）　　　　A.　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　D.　　3.在的展开式中，含项的系数是首项为－2公差为3的等差数列的（　）　　A．第13项　　B．第18项　　C．第11项　　D．第20项　　4.若将函数的图象按向量平移，使图象上点P的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后图象的解析式为（　）　　A．　　B．　　C．　

2、　D．　　5.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（　）　　A．　　B．　　C．　　D．　　6.已知，则下列排序正确的是（　）　　A．　　　B．　　C．　　　D．　　7.已知，，点C在坐标轴上，若，则这样的点C的个数为（　）　　A．1　　B．2　　C．3　　D．4　　8.设数集，，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（　）　　A．　　B．　　C．　　D．　　二、填空题：（每小题5分）　　9.函数的定义域是______，递增区间是______.　　10.在数列中，若且对任意有则数列前项的和为______，前项和最小

3、时的等于______.　　11.若，则目标函数的取值范围是______.　　12.向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且

4、a

5、=2，

6、b

7、=4，则a与b夹角的余弦值等于______.　　13.已知P是抛物线上的动点，定点A（0，-1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是______，它的焦点坐标是_________．　　14.若定义在区间D上的函数对于D上的任意n个值，总满足，则称为D上的凸函数.现已知在上是凸函数，则锐角中，的最大值是_________．答　案　　一、选择题：（每小题5分）题号12345678答案　　　　　　　　　　二、填空题：（每小题5分）9　　10　　1

8、1　12　13　　14　　　15.（本小题满分13分）　　矩形ABCD，AB=4，BC=3，E为DC中点，沿AE将ΔAED折起，使二面角D-AE-B为60°。　　(I)求DE与平面AC所成角的正弦值；　　(II)求二面角D-EC-B的正切值。　　16.（本小题满分13分）　　已知为锐角，且。　　（1）求的值；　　（2）求的值。　　17.（本小题满分14分）　　设函数是三次函数，是一次函数，，在处有极值2.　　（1）求的解析式；　　（2）求的单调区间.　　18.（本小题满分14分）　　已知函数.　　（1）求的值，使点到直线的距离最短为；　　（2）若不等式在恒成立，求的取值范围.　　19.（本小

9、题满分13分）　　直线与曲线交于（异于原点）；过且斜率为的直线与曲线交于（异于）；过且斜率为的直线与曲线交于（异于）,……,过且斜率为的直线与曲线交于（异于）,……。设坐标为,（）.　　（Ⅰ）求和的表达式；　　（Ⅱ）判定是否存在，若存在，求它的值；若不存在，说明理由.　　20.（本小题满分13分）　　已知为椭圆和双曲线的公共顶点，分别为双曲线和椭圆上不同于的动点，且有，设的斜率分别是.　　（1）求证；　　（2）设分别为双曲线和椭圆的右焦点，若∥，求的值.答　案　　一、选择题：（每小题5分）题号12345678答案DCDCCBCC　　二、填空题：（每小题5分）9（-∞，-3）∪（1，+∞）（-

10、∞，-3）104或511[8，14]1213y=6x2-1(x≠0)14　　15．如图1，过点D作DM⊥AE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DM⊥AE，MN⊥AE保持不变，翻折后，如图2，∠DMN为二面角D-AE-B的平面角，∠DMN=60°，AE⊥平面DMN，又因为AE平面AC，则平面AC⊥平面DMN。　　(I)在平面DMN内，作DO⊥MN于O，　　∵平面AC⊥平面DMN，　　∴DO⊥平面AC。　　连结OE，DO⊥OE，∠DEO为DE与平面AC所成的角　　如图1，在直角三角形ADE中，AD=3，DE=2，　　，　　。　　如图2，在直角三角形DOM中，DO=DM·sin60°=,　　

11、在直角三角形DOE中，，则。　　∴DE与平面AC所成的角为。　　(II)如图2，在平面AC内，作OF⊥EC于F，连结DE，　　∵DO⊥平面AC，∴DF⊥EC，∴∠DFO为二面角D-EC-B的平面角。　　如图1，作OF⊥DC于F，则RtΔEMD∽RtΔOFD，，∴。　　如图2，在RtΔDOM中，OM=DMcos∠DMO=DM·cos60°=.　　如图1，DO=DM+MO。　　在RtΔDFO中，，　　∴二面角D-