双曲线和其标准方程

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1、双曲线及其标准方程本人精心整理的文档,文档来自网络本人仅收藏整理如有错误还请自己查证！双曲线及其标准方程　一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程以及标准方程的推导．(二)能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用与椭圆进行类比、设想使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．二、教材分析1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．(解决办法：通过一个简单实验得出双曲线再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．)2．难点：双曲线的标准方程的推导．(解决办

2、法：引导学生完成提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？(解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决同时让学生在课外去研究在什么附加条件下双曲线方程可以转化为函数式．)三、活动设计提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结．四、教学过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？(学生回答教师板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于

3、F1F2

4、)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞

5、F1F2

6、．2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答教师板

7、书)(二)双曲线的概念把椭圆定义中的"距离的和"改为"距离的差"那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1．简单实验(边演示、边说明)如图2-23定点F1、F2是两个按钉MN是一个细套管两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管点M移动时

8、MF1

9、-

10、MF2

11、是常数这样就画出曲线的一支；由

12、MF2

13、-

14、MF1

15、是同一常数可以画出另一支．注意：常数要小于

16、F1F2

17、否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．2．设问问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上能否得到双曲线？请学生回答不能．强调"在平面内"．问题2：

18、MF1

19、与

20、MF2

21、哪个大？请学生回答不定：当M在双曲线右支上时

22、MF1

23、＞

24、MF2

25、

26、；当点M在双曲线左支上时

27、MF1

28、＜

29、MF2

30、．问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是

31、MF1

32、-

33、MF2

34、？请学生回答不一定也可以是

35、MF2

36、-

37、MF1

38、．正确表示为

39、

40、MF2

41、-

42、MF1

43、

44、．问题4：这个常数是否会大于等于

45、F1F2

46、？请学生回答应小于

47、F1F2

48、且大于零．当常数=

49、F1F2

50、时轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞

51、F1F2

52、时无轨迹．3．定义在上述基础上引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于

53、F1F2

54、)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点两个焦点之间的距离叫做焦距．教师指出：双曲线的定义

55、可以与椭圆相对照来记忆不要死记．(三)双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答主要引起学生思考随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导：(1)建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)建立直角坐标系．设M(xy)为双曲线上任意一点双曲线的焦距是2c(c＞0)那么F1、F2的坐标分别是(-c0)、(c0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．(2)点的集合由定义可知双曲线就是集合：P={M

56、

57、MF1

58、-

59、MF2

60、

61、=2a}

62、={M

63、MF1

64、-

65、MF2

66、=±2a}．(3)代数方程(4)化简方程(由学生演板)将这个方程移项两边平方得：化简得：两边再平方整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)由双曲线定义2c＞2a　即c＞a所以c2-a2＞0．设c2-a2=b2(b＞0)代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2．这就是双曲线的标准方程．两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中a＞0b＞0但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦

67、点在哪一坐标轴上．(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2不同于椭圆方程中c2=a2-b2．(四)练习与例题1．求满足下列的双曲线的标准方程：焦点F1(-30)、F2(30)且2a=4；3．已知两点F1(-50)、F2(50)求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12其他条件不变会出现什么情况？由教师讲解：按定义所求点的轨迹是双曲线因为c=5a=3所以b2=c2-a2=52-32=42．