概率论与数理统计ja(48,5-6)1

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1、第一章概率论的基本概念上节课内容复习：概率的定义及性质：第一章概率论的基本概念性质9第一章概率论的基本概念实际推断原理：小概率事件在一次试验中几乎是不发生的。§3条件概率一条件概率二乘法定理三全概率公式和贝叶斯公式目录索引第一章概率论的基本概念§3条件概率一、条件概率条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。它所考虑的是事件B已经发生的条件下事件A发生的概率。第一章概率论的基本概念§3条件概率设A、B是某随机试验中的两个事件，且则称事件A在“事件B已发生”这一附加条件下的概率为在事件B已发生的条件下事

2、件A的条件概率，简称为A在B之下的条件概率，记为1）条件概率的定义：例1两台车床加工同一种零件共100个，结果如下合格品数次品数总计第一台车床加工数30535第二台车床加工数501565总计8020100第一章概率论的基本概念§3条件概率设A={从100个零件中任取一个是合格品}B={从100个零件中任取一个是第一台车床加工的}解：注：由例1可以看出，事件A在“事件B已发生”这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的．第一章概率论的基本概念但有称为在事件B已发生的条件下事件A的条件概率，简称为A

3、在B之下的条件概率。设A、B是某随机试验中的两个事件，且则因此，有下面的定义：2）条件概率的性质：第一章概率论的基本概念§3条件概率因此条件概率也是概率，它也具备概率的其它性质。例2已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．而所求概率为解：设B={3个小孩至少有一个女孩}A={3个小孩至少有一个男孩}第一章概率论的基本概念二、乘法公式由条件概率的定义我们得这就是两个事件的乘法公式．第一章概率论的基本概念§3条件概率1）两个事件的乘法公式：2）多个事件的乘法公式则有这就是

4、n个事件的乘法公式．第一章概率论的基本概念§3条件概率例3袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都未取出黑球的概率．解则由乘法公式，我们有第一章概率论的基本概念例4设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。求透镜落下三次而未打破的概率。解：以Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示

5、事件“透镜落下三次而未打破”，有第一章概率论的基本概念三、全概率公式和贝叶斯公式定义设S为试验E的样本空间，为E的一组事件。若满足(1)(2)则称为样本空间S的一个有限划分.第一章概率论的基本概念§3条件概率1）全概率公式：设随机事件第一章概率论的基本概念§3条件概率SAnA1A2…...BA1BA2…...BAn全概率公式的证明：由条件：得而且由A1A2An…...BA1BA2…...BAnS第一章概率论的基本概念§3条件概率全概率公式的证明（续）所以由概率的可加性，得得第一章概率论的基本概念§3

6、条件概率全概率公式的使用：我们把事件B看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．第一章概率论的基本概念§3条件概率例5某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．解：由全概率公式，有第一章概率论的基本概念2）贝叶斯（Bayes）

7、公式第一章概率论的基本概念§3条件概率设随机事件则有：Bayes公式的使用我们把事件B看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用Bayes公式第一章概率论的基本概念§3条件概率说明：全概率公式，Bayes公式中可以是第一章概率论的基本概念§3条件概率例6（艾滋病普查）有一种血液试验能检验出身体中艾滋病病毒的某种抗体的存在性.可能会有两种误诊.首先，它可能对某些真有艾滋病的人作出没有艾滋病的

8、诊断，这就是假阴性.其次，它也可能对某些没有艾滋病的人误诊为患有艾滋病，这就是所谓的假阳性.假设该血液试验的灵敏度（即真有病的人的试验结果呈阳性的概率）为95%，因此，5%的患有艾滋病的人的血液试验结果将是假阴性.美国是艾滋病较为流行的国家之一，保守估计大约每1000人中就有一人受这种病的折磨.为了有效控制和减缓艾滋病的传播速度，几年前，美国有人就提议应在申请结婚登记的新婚夫妇中进行艾滋病病毒的血液试验，该项普查计划一经提而接受血液试验的不带艾滋病病毒的人中99%的试