非惯性系中的质点动力学

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1、理论力学(II)第一章非惯性系中的质点动力学前面讲过,牛顿第二定律只适用于惯性系.如果在非惯性系内建立动力学方程,则质量与非惯性系下的加速度乘积的度量,除了与真实力有关,还与非惯性系下产生的各种惯性力有关.由牛顿第二定律和运动学的加速度合成公式,有:第一章:非惯性系中的质点动力学§1–1非惯性系中质点动力学的基本方程例一.(书上P2例1－1)单摆的摆长为L,小球的质量为m,其悬挂点O以加速度ao向上运动.求此单摆的微振动周期.Oφ例二.(参见书上习1–4)质点M其质量为m,被限制在旋转面容器内光滑的经线AOB运动.旋转面容器绕其

2、几何轴Oz以匀角速度ω转动.求:M点相对静止处曲线的切线斜率与回转半径r的关系.如果r为任意值时M点都静止,求旋转面经线AOB的形状.θOyxzωMrτθmgAB习1–5.图示一离心分离机的鼓室,鼓室的半径为R,高为H.以匀角速度ω绕Oy轴转动.当鼓室无盖时,为使被分离的液体不致溢出.试求:鼓室旋转时,在平面内液面所形成的曲线形状.注入液体的最大高度H´.yωxhHoRmgFH–h认识地球上的科氏惯性力在非惯性系下的力学系统,无论处于什么状态,(静止、运动)必存在着惯性力.这些惯性力所产生的力学效应,可以通过相关的仪器测出,或

3、可以通过人的感官感觉到.公共汽车在转弯的时候对车上的物体作用有离心惯性力,这已是常识.还有一些感觉是一般人体会不到的.飞机加速上升,使人身上的血往下流,脑中失血,眼睛失明—这就是飞行中的‘黑晕’现象.飞机加速下降,使人身上的血往上流,脑中充血,眼睛红视—这就是飞行中的‘红视’现象.地球本身就是一非惯性系,而且是一有转动的非惯性系.所以,严格地讲,以地球作为参照系的上的力学现象中,应有牵连惯性力和科氏惯性力的效应.如果考察地球上局部空间内的力学现象,把地球的这一部分运动空间视为‘匀速直线平动’,则许多力学现象的分析与计算结果是可用

4、的.但是,对于一些精确的力学问题,以及大尺度的力学问题,必须考虑相应的惯性力.对于地球上的许多大尺寸的运动学问题,科氏惯性力的影响不容忽视.下面,我们来研究地球上物体的运动与科氏惯性力.建立地面坐标系如图示质点相对于地球的运动微分方程为即为:Rxyzo∴(I)式的投影方程为:<1>自由落体偏东设运动初始条件:将(1)、(3)式分别积分:由初始条件可得:A=0,B=0代入(2)式整理可得:其解为:Rxyzo代入可得同理可得:Rxyzo这就是考虑科氏惯性力影响的自由落体公式这里,地球的自转的角速度借助于幂级数,我们来分析上面的方程.

5、取代入(4)、(5)、(6)式可得:Rxyzo如果不考虑地球的角速度,即是略去、²项,则有:从这几组方程可明确得知:自由落体运动,在考虑地球的自转效应时,落到地面后位置偏东,若在精确一点讲,还有一点偏南(北半球)或偏北(南半球).(只有两极处无此现象)Rxyzo<2>竖直上抛物体落点偏西由初始条件:重复前面的解题过程可得:取代入上式可得:Rxyzo若去掉²以上的项则有:(物体返回地面)(落地偏西)Rxyzo§1–2非惯性系中的动能定理前面我们使用的动能定理是在惯性参考系下成立的,它只适合于惯性系.对于在非惯性系下运动的物体

6、,质点在此参考系下的动能的变化,除与真实力的功有关,还与惯性力的功有关.质点的相对运动的动力学方程可以写为:注意:表示相对矢量在动系(这里指非惯性参考系)内的改变量.(这种记法诣在与第八章的记法一致,想必不难理解.)显然,就是质点的相对位移.将(A)式两端同乘注意:两端积分可得:质点在非惯性系中的动能的微分,等于作用于质点上的真实力与牵连惯性力在相对运动中的元功之和.质点在非惯性系中的相对动能的改变量,等于作用于质点上的真实力与牵连惯性力在相对运动的路程上所作的功之和.例1–4一平板与水面成角,板上有一质量为m的小球,如图示.

7、若不计摩擦等阻力,问平板以多大的加速度向右平移时,小球能保持相对静止?若平板又以这个速度的两倍向右平移时,小球沿板向上运动.问小球沿板走了l距离后,小球的相对速度是多少?xyox´y´o´解:(1)令板向右平移,则无科氏惯性力.若相对静止,则受力如图由几何法可得:(2)若板的平移加速度而小球沿板走了l距离x´y´o´l则牵连惯性力由相对运动的动能定理:例1–5半径为R的环形管,绕铅垂轴z以匀角速度转动.管内有一质量为m的小球,原在最低处平衡.小球受微小干扰而沿圆管上升,忽略管壁的摩擦,求小球能达到的最大偏角.解:设小球

8、能达到的最大偏角为R由相对运动的动能定理小球受力如图示:其中,R从实际意义分析,0≤﹤90º即当小球总在最低处.